関連するページを見るにはこのグラフ図を利用してください.

複素フーリエ変換

fx=12π0Fωeiωxdω

Fω=12π0fxeiωxdx

となる.Fωfxフーリエ変換という.

■導出

フーリエ積分

f(x)=0{G(w)coswx+H(w)sinwx}dw  ・・・・・・(1)

G(w)=1πf(v)coswvdv ・・・・・・(1-1)

H(w)=1πf(v)sinwvdv ・・・・・・(1-2)

オイラーの公式

eiθ=cosθ+isinθ

を使って,複素数にまで拡張する.

coswv=eiwv+eiwv2 ・・・・・・(2)

sinwv=ieiwveiwv2 ・・・・・・(3)

(1-1)に(2)を代入する.

G(w)=1πf(v)eiwv+eiwv2dv

=12πf(v)eiwvdv+12πf(v)eiwvdv ・・・・・・(4)

(1-2)に(3)を代入する.

H(w)=1πf(v)(ieiwveiwv2)dv

=i(12πf(v)eiwvdv12πf(v)eiwvdv) ・・・・・・(5)

coswx=eiwx+eiwx2 ・・・・・・(6)

sinwx=ieiwxeiwx2 ・・・・・・(7)

(1)に(4),(5),(6),(7)を代入する.

f(x)=

0{(12πf(v)eiwvdv+12πf(v)eiwvdv)eiwx+eiwx2

i(12πf(v)eiwvdv12πf(v)eiwvdu)(ieiwxeiwx2)}dw

=012{(12πf(v)eiwvdv)eiwx+(12πf(v)eiwvdu)eiwx

+(12πf(v)eiwvdv)eiwx+(12πf(v)eiwvdv)eiwx

(12πf(v)eiwvdv)eiwx+(12πf(v)eiwvdv)eiwx

+(12πf(v)eiwvdv)eiwx(12πf(v)eiwvdv)eiwx}dw

=0{(12πf(v)eiwvdv)eiwx+(12πf(v)eiwvdv)eiwx}dw

=0(12πf(v)eiwvdv)eiwxdw+0(12πf(v)eiwvdv)eiwxdw ・・・・・・(8)

となる.(8)の右辺の第1項

0(12πf(v)eiwvdv)eiwxdw ・・・・・・(9)

について,w=γ と置く置換積分をする.

dw=dγ

w0 から のとき,γ0から となる.よって(9)は

0(12πf(v)eiγvdv)eiγx(dγ)

=0(12πf(v)eiγvdv)eiγxdγ

となる.積分変数γw に書き換える(γ=w置換積分をする)と

=0(12πf(v)eiwvdv)eiwxdw ・・・・・・(10)

(10)を(8)に代入すると

f(x)=0(12πf(v)eiwvdv)eiwxdw+0(12πf(v)eiwvdv)eiwxdw

=(12πf(v)eiwvdv)eiwxdw ・・・・・・(11)

となる.

12πf(v)eiwvdv=F(w) ・・・・・・(12)

とおく.(12)を(11)に代入すると

f(x)=12πF(w)eiwxdw

=12πF(w)eiwxdw ・・・・・・(13)

となる.(12)の積分変数をv からx に書き換えると

F(w)=12πf(x)eiwxdx ・・・・・・(14)

となる.

すなわち

f(x)=12πF(w)eiwxdw ・・・・・・(13)

F(w)=12πf(x)eiwxdx ・・・・・・(14)

となる.

 

ホーム>>カテゴリー分類>>数列>>級数展開>>複素フーリエ変換

最終更新日: 2023年7月3日

[ページトップ]

金沢工業大学

利用規約

google translate (English version)

Chat window

The chat window has been closed