複素フーリエ変換

$f (x) = \frac{1}{\sqrt{2 π}} \int_{0}^{\infty} F (ω) e^{- i ω x} d ω$ $f (x) = \frac{1}{\sqrt{2 π}} \int_{0}^{\infty} F (ω) e^{- i ω x} d ω$

$F (ω) = \frac{1}{\sqrt{2 π}} \int_{0}^{\infty} f (x) e^{i ω x} d x$ $F (ω) = \frac{1}{\sqrt{2 π}} \int_{0}^{\infty} f (x) e^{i ω x} d x$

となる． $F (ω)$ $F (ω)$ を $f (x)$ $f (x)$ のフーリエ変換という．

■導出

フーリエ積分

$f (x) = \int_{0}^{\infty} {G (w) cos w x + H (w) sin w x} d w$ $f (x) = \int_{0}^{\infty} {G (w) \cos w x + H (w) \sin w x} d w$ 　　･･････(1)

$G (w) = \frac{1}{π} \int_{- \infty}^{\infty} f (v) cos w v d v$ $G (w) = \frac{1}{π} \int_{- \infty}^{\infty} f (v) \cos w v d v$ 　･･････(1-1)

$H (w) = \frac{1}{π} \int_{- \infty}^{\infty} f (v) sin w v d v$ $H (w) = \frac{1}{π} \int_{- \infty}^{\infty} f (v) \sin w v d v$ 　･･････(1-2)

をオイラーの公式

$e^{i θ} = cos θ + i sin θ$ $e^{i θ} = \cos θ + i \sin θ$

を使って，複素数にまで拡張する．

$cos w v = \frac{e^{i w v} + e^{- i w v}}{2}$ $\cos w v = \frac{e^{i w v} + e^{- i w v}}{2}$ 　･･････(2)

$sin w v = - i \frac{e^{i w v} - e^{- i w v}}{2}$ $\sin w v = - i \frac{e^{i w v} - e^{- i w v}}{2}$ 　･･････(3)

(1-1)に(2)を代入する．

$G (w)$ $G (w)$ $= \frac{1}{π} \int_{- \infty}^{\infty} f (v) \frac{e^{i w v} + e^{- i w v}}{2} d v$ $= \frac{1}{π} \int_{- \infty}^{\infty} f (v) \frac{e^{i w v} + e^{- i w v}}{2} d v$

$= \frac{1}{2 π} \int_{- \infty}^{\infty} f (v) e^{i w v} d v + \frac{1}{2 π} \int_{- \infty}^{\infty} f (v) e^{- i w v} d v$ $= \frac{1}{2 π} \int_{- \infty}^{\infty} f (v) e^{i w v} d v + \frac{1}{2 π} \int_{- \infty}^{\infty} f (v) e^{- i w v} d v$ 　･･････(4)

(1-2)に(3)を代入する．

$H (w)$ $H (w)$ $= \frac{1}{π} \int_{- \infty}^{\infty} f (v) (- i \frac{e^{i w v} - e^{- i w v}}{2}) d v$ $= \frac{1}{π} \int_{- \infty}^{\infty} f (v) (- i \frac{e^{i w v} - e^{- i w v}}{2}) d v$

$= - i (\frac{1}{2 π} \int_{- \infty}^{\infty} f (v) e^{i w v} d v - \frac{1}{2 π} \int_{- \infty}^{\infty} f (v) e^{- i w v} d v)$ $= - i (\frac{1}{2 π} \int_{- \infty}^{\infty} f (v) e^{i w v} d v - \frac{1}{2 π} \int_{- \infty}^{\infty} f (v) e^{- i w v} d v)$ 　･･････(5)

$cos w x = \frac{e^{i w x} + e^{- i w x}}{2}$ $\cos w x = \frac{e^{i w x} + e^{- i w x}}{2}$ 　･･････(6)

$sin w x = - i \frac{e^{i w x} - e^{- i w x}}{2}$ $\sin w x = - i \frac{e^{i w x} - e^{- i w x}}{2}$ 　･･････(7)

(1)に(4)，(5)，(6)，(7)を代入する．

$f (x) =$ $f (x) =$

$\int_{0}^{\infty} {(\frac{1}{2 π} \int_{- \infty}^{\infty} f (v) e^{i w v} d v + \frac{1}{2 π} \int_{- \infty}^{\infty} f (v) e^{- i w v} d v) \frac{e^{i w x} + e^{- i w x}}{2}$ $\int_{0}^{\infty} {(\frac{1}{2 π} \int_{- \infty}^{\infty} f (v) e^{i w v} d v + \frac{1}{2 π} \int_{- \infty}^{\infty} f (v) e^{- i w v} d v) \frac{e^{i w x} + e^{- i w x}}{2}$

$- i (\frac{1}{2 π} \int_{- \infty}^{\infty} f (v) e^{i w v} d v - \frac{1}{2 π} \int_{- \infty}^{\infty} f (v) e^{- i w v} d u) (- i \frac{e^{i w x} - e^{- i w x}}{2})} d w$ $- i (\frac{1}{2 π} \int_{- \infty}^{\infty} f (v) e^{i w v} d v - \frac{1}{2 π} \int_{- \infty}^{\infty} f (v) e^{- i w v} d u) (- i \frac{e^{i w x} - e^{- i w x}}{2})} d w$

$= \int_{0}^{\infty} \frac{1}{2} {(\frac{1}{2 π} \int_{- \infty}^{\infty} f (v) e^{i w v} d v) e^{i w x} + (\frac{1}{2 π} \int_{- \infty}^{\infty} f (v) e^{- i w v} d u) e^{i w x}$ $= \int_{0}^{\infty} \frac{1}{2} {(\frac{1}{2 π} \int_{- \infty}^{\infty} f (v) e^{i w v} d v) e^{i w x} + (\frac{1}{2 π} \int_{- \infty}^{\infty} f (v) e^{- i w v} d u) e^{i w x}$

$+ (\frac{1}{2 π} \int_{- \infty}^{\infty} f (v) e^{i w v} d v) e^{- i w x} + (\frac{1}{2 π} \int_{- \infty}^{\infty} f (v) e^{- i w v} d v) e^{- i w x}$ $+ (\frac{1}{2 π} \int_{- \infty}^{\infty} f (v) e^{i w v} d v) e^{- i w x} + (\frac{1}{2 π} \int_{- \infty}^{\infty} f (v) e^{- i w v} d v) e^{- i w x}$

$- (\frac{1}{2 π} \int_{- \infty}^{\infty} f (v) e^{i w v} d v) e^{i w x} + (\frac{1}{2 π} \int_{- \infty}^{\infty} f (v) e^{- i w v} d v) e^{i w x}$ $- (\frac{1}{2 π} \int_{- \infty}^{\infty} f (v) e^{i w v} d v) e^{i w x} + (\frac{1}{2 π} \int_{- \infty}^{\infty} f (v) e^{- i w v} d v) e^{i w x}$

$+ (\frac{1}{2 π} \int_{- \infty}^{\infty} f (v) e^{i w v} d v) e^{- i w x} - (\frac{1}{2 π} \int_{- \infty}^{\infty} f (v) e^{- i w v} d v) e^{- i w x}} d w$ $+ (\frac{1}{2 π} \int_{- \infty}^{\infty} f (v) e^{i w v} d v) e^{- i w x} - (\frac{1}{2 π} \int_{- \infty}^{\infty} f (v) e^{- i w v} d v) e^{- i w x}} d w$

$= \int_{0}^{\infty} {(\frac{1}{2 π} \int_{- \infty}^{\infty} f (v) e^{- i w v} d v) e^{i w x} + (\frac{1}{2 π} \int_{- \infty}^{\infty} f (v) e^{i w v} d v) e^{- i w x}} d w$ $= \int_{0}^{\infty} {(\frac{1}{2 π} \int_{- \infty}^{\infty} f (v) e^{- i w v} d v) e^{i w x} + (\frac{1}{2 π} \int_{- \infty}^{\infty} f (v) e^{i w v} d v) e^{- i w x}} d w$

$= \int_{0}^{\infty} (\frac{1}{2 π} \int_{- \infty}^{\infty} f (v) e^{- i w v} d v) e^{i w x} d w + \int_{0}^{\infty} (\frac{1}{2 π} \int_{- \infty}^{\infty} f (v) e^{i w v} d v) e^{- i w x} d w$ $= \int_{0}^{\infty} (\frac{1}{2 π} \int_{- \infty}^{\infty} f (v) e^{- i w v} d v) e^{i w x} d w + \int_{0}^{\infty} (\frac{1}{2 π} \int_{- \infty}^{\infty} f (v) e^{i w v} d v) e^{- i w x} d w$ 　･･････(8)

となる．(8)の右辺の第１項

$\int_{0}^{\infty} (\frac{1}{2 π} \int_{- \infty}^{\infty} f (v) e^{- i w v} d v) e^{i w x} d w$ $\int_{0}^{\infty} (\frac{1}{2 π} \int_{- \infty}^{\infty} f (v) e^{- i w v} d v) e^{i w x} d w$ 　･･････(9)

について， $w = - γ$ $w = - γ$ と置く置換積分をする．

$d w = - d γ$ $d w = - d γ$

$w$ $w$ が $0$ $0$ から $\infty$ $\infty$ のとき， $γ$ $γ$ は $0$ $0$ から $- \infty$ $- \infty$ となる．よって(9)は

$\int_{0}^{- \infty} (\frac{1}{2 π} \int_{- \infty}^{\infty} f (v) e^{i γ v} d v) e^{- i γ x} (- d γ)$ $\int_{0}^{- \infty} (\frac{1}{2 π} \int_{- \infty}^{\infty} f (v) e^{i γ v} d v) e^{- i γ x} (- d γ)$

$= \int_{- \infty}^{0} (\frac{1}{2 π} \int_{- \infty}^{\infty} f (v) e^{i γ v} d v) e^{- i γ x} d γ$

となる．積分変数 $γ$ を $w$ に書き換える( $γ = w$ の置換積分をする)と

$= \int_{- \infty}^{0} (\frac{1}{2 π} \int_{- \infty}^{\infty} f (v) e^{i w v} d v) e^{- i w x} d w$ 　･･････(10)

(10)を(8)に代入すると

$f (x) =$ $\int_{- \infty}^{0} (\frac{1}{2 π} \int_{- \infty}^{\infty} f (v) e^{i w v} d v) e^{- i w x} d w$ $+ \int_{0}^{\infty} (\frac{1}{2 π} \int_{- \infty}^{\infty} f (v) e^{i w v} d v) e^{- i w x} d w$

$= \int_{- \infty}^{\infty} (\frac{1}{2 π} f (v) e^{i w v} d v) e^{- i w x} d w$ 　･･････(11)

となる．

$\frac{1}{\sqrt{2 π}} \int_{- \infty}^{\infty} f (v) e^{i w v} d v = F (w)$ 　･･････(12)

とおく．(12)を(11)に代入すると

$f (x)$ $= \int_{- \infty}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{2 π}} F (w) e^{- i w x} d w$

$= \frac{1}{\sqrt{2 π}} \int_{- \infty}^{\infty} F (w) e^{- i w x} d w$ 　･･････(13)

となる．(12)の積分変数を $v$ から $x$ に書き換えると

$F (w) = \frac{1}{\sqrt{2 π}} \int_{- \infty}^{\infty} f (x) e^{i w x} d x$ 　･･････(14)

となる．

すなわち

$f (x) = \frac{1}{\sqrt{2 π}} \int_{- \infty}^{\infty} F (w) e^{- i w x} d w$ 　･･････(13)

$F (w) = \frac{1}{\sqrt{2 π}} \int_{- \infty}^{\infty} f (x) e^{i w x} d x$ 　･･････(14)

となる．

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最終更新日： 2023年7月3日