複素フーリエ変換
f(x)=1√2π∫∞0F(ω)e−iωxdω
F(ω)=1√2π∫∞0f(x)eiωxdx
となる.F(ω)
をf(x)
のフーリエ変換という.
■導出
フーリエ積分
f(x)=∫∞0{G(w)coswx+H(w)sinwx}dw ・・・・・・(1)
G(w)=1π∫∞−∞f(v)coswvdv ・・・・・・(1-1)
H(w)=1π∫∞−∞f(v)sinwvdv ・・・・・・(1-2)
をオイラーの公式
eiθ=cosθ+isinθ
を使って,複素数にまで拡張する.
coswv=eiwv+e−iwv2 ・・・・・・(2)
sinwv=−ieiwv−e−iwv2 ・・・・・・(3)
(1-1)に(2)を代入する.
G(w)=1π∫∞−∞f(v)eiwv+e−iwv2dv
=12π∫∞−∞f(v)eiwvdv+12π∫∞−∞f(v)e−iwvdv ・・・・・・(4)
(1-2)に(3)を代入する.
H(w)=1π∫∞−∞f(v)(−ieiwv−e−iwv2)dv
=−i(12π∫∞−∞f(v)eiwvdv−12π∫∞−∞f(v)e−iwvdv) ・・・・・・(5)
coswx=eiwx+e−iwx2 ・・・・・・(6)
sinwx=−ieiwx−e−iwx2 ・・・・・・(7)
(1)に(4),(5),(6),(7)を代入する.
f(x)=
∫∞0{(12π∫∞−∞f(v)eiwvdv+12π∫∞−∞f(v)e−iwvdv)eiwx+e−iwx2
−i(12π∫∞−∞f(v)eiwvdv−12π∫∞−∞f(v)e−iwvdu)(−ieiwx−e−iwx2)}dw
=∫∞012{(12π∫∞−∞f(v)eiwvdv)eiwx+(12π∫∞−∞f(v)e−iwvdu)eiwx
+(12π∫∞−∞f(v)eiwvdv)e−iwx+(12π∫∞−∞f(v)e−iwvdv)e−iwx
−(12π∫∞−∞f(v)eiwvdv)eiwx+(12π∫∞−∞f(v)e−iwvdv)eiwx
+(12π∫∞−∞f(v)eiwvdv)e−iwx−(12π∫∞−∞f(v)e−iwvdv)e−iwx}dw
=∫∞0{(12π∫∞−∞f(v)e−iwvdv)eiwx+(12π∫∞−∞f(v)eiwvdv)e−iwx}dw
=∫∞0(12π∫∞−∞f(v)e−iwvdv)eiwxdw+∫∞0(12π∫∞−∞f(v)eiwvdv)e−iwxdw ・・・・・・(8)
となる.(8)の右辺の第1項
∫∞0(12π∫∞−∞f(v)e−iwvdv)eiwxdw ・・・・・・(9)
について,w=−γ
と置く置換積分をする.
dw=−dγ
w
が0
から∞
のとき,γ
は0から−∞
となる.よって(9)は
∫−∞0(12π∫∞−∞f(v)eiγvdv)e−iγx(−dγ)
=∫0−∞(12π∫∞−∞f(v)eiγvdv)e−iγxdγ
となる.積分変数γ
を
w
に書き換える(γ=w
の置換積分をする)と
=∫0−∞(12π∫∞−∞f(v)eiwvdv)e−iwxdw ・・・・・・(10)
(10)を(8)に代入すると
f(x)=∫0−∞(12π∫∞−∞f(v)eiwvdv)e−iwxdw+∫∞0(12π∫∞−∞f(v)eiwvdv)e−iwxdw
=∫∞−∞(12πf(v)eiwvdv)e−iwxdw ・・・・・・(11)
となる.
1√2π∫∞−∞f(v)eiwvdv=F(w) ・・・・・・(12)
とおく.(12)を(11)に代入すると
f(x)=∫∞−∞1√2πF(w)e−iwxdw
=1√2π∫∞−∞F(w)e−iwxdw ・・・・・・(13)
となる.(12)の積分変数をv
からx
に書き換えると
F(w)=1√2π∫∞−∞f(x)eiwxdx ・・・・・・(14)
となる.
すなわち
f(x)=1√2π∫∞−∞F(w)e−iwxdw ・・・・・・(13)
F(w)=1√2π∫∞−∞f(x)eiwxdx ・・・・・・(14)
となる.
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最終更新日:
2023年7月3日