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複素フーリエ変換
f(x)=1√2π∫∞0F(ω)e−iωxdω
F(ω)=1√2π∫∞0f(x)eiωxdx
となる．F(ω) をf(x) のフーリエ変換という．
■導出
f(x)=∫∞0{G(w)coswx+H(w)sinwx}dw ･･････(1)
G(w)=1π∫∞−∞f(v)coswvdv ･･････(1-1)
H(w)=1π∫∞−∞f(v)sinwvdv ･･････(1-2)
eiθ=cosθ+isinθ
を使って，複素数にまで拡張する．
coswv=eiwv+e−iwv2 ･･････(2)
sinwv=−ieiwv−e−iwv2 ･･････(3)
(1-1)に(2)を代入する．
G(w)=1π∫∞−∞f(v)eiwv+e−iwv2dv
=12π∫∞−∞f(v)eiwvdv+12π∫∞−∞f(v)e−iwvdv ･･････(4)
(1-2)に(3)を代入する．
H(w)=1π∫∞−∞f(v)(−ieiwv−e−iwv2)dv
=−i(12π∫∞−∞f(v)eiwvdv−12π∫∞−∞f(v)e−iwvdv) ･･････(5)
coswx=eiwx+e−iwx2 ･･････(6)
sinwx=−ieiwx−e−iwx2 ･･････(7)
(1)に(4)，(5)，(6)，(7)を代入する．
f(x)=
∫∞0{(12π∫∞−∞f(v)eiwvdv+12π∫∞−∞f(v)e−iwvdv)eiwx+e−iwx2
−i(12π∫∞−∞f(v)eiwvdv−12π∫∞−∞f(v)e−iwvdu)(−ieiwx−e−iwx2)}dw
=∫∞012{(12π∫∞−∞f(v)eiwvdv)eiwx+(12π∫∞−∞f(v)e−iwvdu)eiwx
+(12π∫∞−∞f(v)eiwvdv)e−iwx+(12π∫∞−∞f(v)e−iwvdv)e−iwx
−(12π∫∞−∞f(v)eiwvdv)eiwx+(12π∫∞−∞f(v)e−iwvdv)eiwx
+(12π∫∞−∞f(v)eiwvdv)e−iwx−(12π∫∞−∞f(v)e−iwvdv)e−iwx}dw
=∫∞0{(12π∫∞−∞f(v)e−iwvdv)eiwx+(12π∫∞−∞f(v)eiwvdv)e−iwx}dw
=∫∞0(12π∫∞−∞f(v)e−iwvdv)eiwxdw+∫∞0(12π∫∞−∞f(v)eiwvdv)e−iwxdw ･･････(8)
となる．(8)の右辺の第１項
∫∞0(12π∫∞−∞f(v)e−iwvdv)eiwxdw ･･････(9)
について，w=−γ と置く置換積分をする．
dw=−dγ
w が0 から∞ のとき，γ は0から−∞ となる．よって(9)は
∫−∞0(12π∫∞−∞f(v)eiγvdv)e−iγx(−dγ)
=∫0−∞(12π∫∞−∞f(v)eiγvdv)e−iγxdγ
となる．積分変数γ を w に書き換える(γ=w の置換積分をする)と
=∫0−∞(12π∫∞−∞f(v)eiwvdv)e−iwxdw ･･････(10)
(10)を(8)に代入すると
f(x)=∫0−∞(12π∫∞−∞f(v)eiwvdv)e−iwxdw+∫∞0(12π∫∞−∞f(v)eiwvdv)e−iwxdw
=∫∞−∞(12πf(v)eiwvdv)e−iwxdw ･･････(11)
となる．
1√2π∫∞−∞f(v)eiwvdv=F(w) ･･････(12)
とおく．(12)を(11)に代入すると
f(x)=∫∞−∞1√2πF(w)e−iwxdw
=1√2π∫∞−∞F(w)e−iwxdw ･･････(13)
となる．(12)の積分変数をv からx に書き換えると
F(w)=1√2π∫∞−∞f(x)eiwxdx ･･････(14)
となる．
すなわち
f(x)=1√2π∫∞−∞F(w)e−iwxdw ･･････(13)
F(w)=1√2π∫∞−∞f(x)eiwxdx ･･････(14)
となる．
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最終更新日： 2023年7月3日
