点が三角形上にあるための条件

三角形 $OQR$ 上に点 $P$ があるための条件は， $\vec{OP} = \vec{p}$ ， $\vec{OQ} = \vec{q}$ ， $\vec{OR} = \vec{r}$ とすると

$\vec{p} = s^{'} \vec{q} + t^{'} \vec{r}$ ， $0 ≦ s^{'} + t^{'} ≦ 1$ ， $s^{'} ≧ 0$ ， $t^{'} ≧ 0$

である．

■導出

線分 $QR$ 上の点を点 $P^{'}$ とし，線分 $O P^{'}$ 上の点を $P$ とすると，点 $P$ は三角形 $OQR$ 上にある．この条件をベクトルで表す．

線分 $QR$ 上に点 $P^{'}$ があることより(ここを参照)

$\vec{O P^{'}} = s \vec{q} + t \vec{r}$ ， $s + t = 1$ ， $s ≧ 0$ ， $t ≧ 0$ 　･･････(1)

である．

線分 $O P^{'}$ 上に点 $P$ があることより

$\vec{p} = k \vec{O P^{'}}$ ， $0 ≦ k ≦ 1$ 　･･････(2)

である．

(1)，(2)より

$\vec{p} = k (s \vec{q} + t \vec{r})$ ， $s + t = 1$ ， $s ≧ 0$ ， $t ≧ 0$ ， $0 ≦ k ≦ 1$

となる． $k s = s^{'}$ ， $k t = t^{'}$ 　･･････(3) とおくと，(3)は

$\vec{p} = s^{'} \vec{q} + t^{'} \vec{r}$ ， $0 ≦ s^{'} + t^{'} ≦ 1$ ， $s^{'} ≧ 0$ ， $t^{'} ≧ 0$

と書き換えられる．

$s^{'} = 0$ の時
$\vec{p} = t^{'} \vec{r}$ ， $0 ≦ t^{'} ≦ 1$ となり，点 $P$ は線分 $OR$ 上にある．
$t^{'} = 0$ の時
$\vec{p} = s^{'} \vec{q}$ ， $0 ≦ s^{'} ≦ 1$ となり，点 $P$ は線分 $OQ$ 上にある．
$s^{'} + t^{'} = 1$ の時
$\vec{p} = s^{'} \vec{q} + t^{'} \vec{r}$ ， $s^{'} ≧ 0$ ， $t^{'} ≧ 0$ となり，点 $P$ は線分 $QR$ 上にある．

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最終更新日 2025年11月7日