行列式を用いた外積の計算

$\vec{a} = (a_{x}, a_{y}, a_{z})$

$\vec{b} = (b_{x}, b_{y}, b_{z})$

$\vec{i}$ : $x$ 軸の基本ベクトル

$\vec{j}$ : $y$ 軸の基本ベクトル

$\vec{k}$ : $z$ 軸の基本ベクトル

とする。 $\vec{a} × \vec{b}$ の外積を以下のように書き換えて行列式を用いて表わす．

$\vec{a} × \vec{b}$ $= (a_{y} b_{z} - a_{z} b_{y}, a_{z} b_{x} - a_{x} b_{z}, a_{x} b_{y} - a_{y} b_{x})$

基本ベクトル表示にすると

$= (a_{y} b_{z} - a_{z} b_{y}) \vec{i}$ $+ (a_{z} b_{x} - a_{x} b_{z}) \vec{j}$ $+ (a_{x} b_{y} - a_{y} b_{x}) \vec{k}$

$a_{y} b_{z} - a_{z} b_{y}$ ， $a_{z} b_{x} - a_{x} b_{z}$ ， $a_{x} b_{y} - a_{y} b_{x}$ を行列式を用いて表すと

$= | \begin{matrix} a_{y} & a_{z} \\ b_{y} & b_{z} \end{matrix} | \vec{i} + | \begin{matrix} a_{z} & a_{x} \\ b_{z} & b_{x} \end{matrix} | \vec{j}$ $+ | \begin{matrix} a_{x} & a_{y} \\ b_{x} & b_{y} \end{matrix} | \vec{k}$

行列式の行または列の入れ替えの性質 $| \begin{matrix} a_{z} & a_{x} \\ b_{z} & b_{x} \end{matrix} | = - | \begin{matrix} a_{x} & a_{z} \\ b_{x} & b_{z} \end{matrix} |$ より

$= | \begin{matrix} a_{y} & a_{z} \\ b_{y} & b_{z} \end{matrix} | \vec{i} - | \begin{matrix} a_{x} & a_{z} \\ b_{x} & b_{z} \end{matrix} | \vec{j}$ $+ | \begin{matrix} a_{x} & a_{y} \\ b_{x} & b_{y} \end{matrix} | \vec{k}$

$\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}$ を3次の行列式の1行の成分と考え、上式を3次の行列式の1行での余因子展開の式とみなすと

$= | \begin{matrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ a_{x} & a_{y} & a_{z} \\ b_{x} & b_{y} & b_{z} \end{matrix} |$

となる.

すなわち

$\vec{a} × \vec{b} = | \begin{matrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ a_{x} & a_{y} & a_{z} \\ b_{x} & b_{y} & b_{z} \end{matrix} |$

となる.

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最終更新日： 2022年9月8日