演習問題

次の極限を求めよ．ただし， n は自然数である．

${\displaystyle \underset{x\to \infty }{lim}\left(\sqrt[n]{x}-{log}_{e}x\right)}$  

次の極限を求めよ．ただし， n は自然数である．

${\displaystyle \underset{x\to \infty }{lim}\left(\sqrt[n]{x}-{log}_{e}x\right)}$  

次の極限を求めよ．ただし， n は自然数である．

${\displaystyle \underset{x\to \infty }{lim}\left(\sqrt[n]{x}-{log}_{e}x\right)}$  

次の極限を求めよ．ただし， n は自然数である．

${\displaystyle \underset{x\to \infty }{lim}\left(\sqrt[n]{x}-{log}_{e}x\right)}$  

次の極限を求めよ．

${\displaystyle \underset{x\to \infty }{\lim }\left\{x\log \left(x+1\right)-x\log x\right\}}$

次の極限を求めよ．

${\displaystyle \underset{x\to \infty }{\lim }\left\{x\log \left(x+1\right)-x\log x\right\}}$

次の極限を求めよ．

${\displaystyle \underset{x\to \infty }{\lim }\left\{x\log \left(x+1\right)-x\log x\right\}}$

次の極限を求めよ．

${\displaystyle \underset{x\to \infty }{\lim }\left\{x\log \left(x+1\right)-x\log x\right\}}$

次の極限を求めよ．

${\displaystyle \underset{x\to \infty }{\lim }\left(\sqrt{x^2+8x}-x\right)}$

次の複素数の計算をせよ

${\displaystyle i^3}$

次の複素数の計算をせよ．

${\displaystyle {\left(2+i\right)}^2{\left(4-2i\right)}^2}$　

次の複素数の計算をせよ．

${\displaystyle 4+\sqrt{-3}-\left(3-\sqrt{-3}\right)}$ 　

次の複素数の計算をせよ．

${\displaystyle \left(3+\sqrt{-5}i\right)\left(2-\sqrt{-5}i\right)}$  

次の式を極形式で示せ．

${\displaystyle 1+\sqrt{3}i}$

この問題の解を利用して， ${\displaystyle {\left(1+\sqrt{3}i\right)}^9}$ を計算せよ．

この問題の解を利用して， ${\displaystyle {\left(1+\sqrt{3}i\right)}^9}$ を計算せよ．

三角形 $\text{ABC}$ の辺 $\text{BC}$ の中点を $\text{M}$ とすると

${\text{AB}}^{\text{2}}+{\text{AC}}^{\text{2}}=2\left({\text{AM}}^{\text{2}}+{\text{BM}}^{\text{2}}\right)$

が成り立つ(中線定理)ことを，ベクトルを用いて証明せよ．

三角形 $\text{ABC}$ の辺 $\text{BC}$ の中点を $\text{M}$ とすると

${\text{AB}}^{\text{2}}+{\text{AC}}^{\text{2}}=2\left({\text{AM}}^{\text{2}}+{\text{BM}}^{\text{2}}\right)$

が成り立つ(中線定理)ことを，ベクトルを用いて証明せよ．

三角形 $\text{ABC}$ の辺 $\text{BC}$ の中点を $\text{M}$ とすると

${\text{AB}}^{\text{2}}+{\text{AC}}^{\text{2}}=2\left({\text{AM}}^{\text{2}}+{\text{BM}}^{\text{2}}\right)$

が成り立つ(中線定理)ことを，ベクトルを用いて証明せよ．

図の ${\displaystyle \overrightarrow{a}}$ ， ${\displaystyle \overrightarrow{b}}$ ， ${\displaystyle \overrightarrow{c}}$ を成分表示で表し，そのベクトル大きさを求めよ．

△ $\text{OAB}$ において，線分 $\text{OA}$ を $2:1$ に内分する点を点 $\text{C}$ ， $\text{OB}$ を $4:1$ に外分する点を点 $\text{D}$ ， $\text{OB}$ を $1:2$ に内分する点を点 $\text{Ｅ}$ とする．線分 $\text{AE}$ と線分 $\text{CD}$ の交点を点 $\text{P}$ とする． ${\displaystyle \overrightarrow{\text{OA}}=\overrightarrow{a}}$ ， ${\displaystyle \overrightarrow{\text{OB}}=\overrightarrow{b}}$ とおくとき， ${\displaystyle \overrightarrow{\text{OP}}}$ を ${\displaystyle \overrightarrow{a}}$ ， ${\displaystyle \overrightarrow{b}}$ を用いて表せ．

△ $\text{OAB}$ において，線分 $\text{OA}$ を $2:1$ に内分する点を点 $\text{C}$ ， $\text{OB}$ を $4:1$ に外分する点を点 $\text{D}$ ， $\text{OB}$ を $1:2$ に内分する点を点 $\text{Ｅ}$ とする．線分 $\text{AE}$ と線分 $\text{CD}$ の交点を点 $\text{P}$ とする． ${\displaystyle \overrightarrow{\text{OA}}=\overrightarrow{a}}$ ， ${\displaystyle \overrightarrow{\text{OB}}=\overrightarrow{b}}$ とおくとき， ${\displaystyle \overrightarrow{\text{OP}}}$ を ${\displaystyle \overrightarrow{a}}$ ， ${\displaystyle \overrightarrow{b}}$ を用いて表せ．

平面ベクトル ${\displaystyle \overrightarrow{a}=(\sqrt{5}-1,\sqrt{3})}$ ， ${\displaystyle \overrightarrow{b}=(\sqrt{5}+1,-\sqrt{3})}$ の内積を求めよ．

平面ベクトル ${\displaystyle \overrightarrow{a}=(\sqrt{5}-1,\sqrt{3})}$ ， ${\displaystyle \overrightarrow{b}=(\sqrt{5}+1,-\sqrt{3})}$ の内積を求めよ．

平面ベクトル ${\displaystyle \overrightarrow{a}=(\sqrt{5}-1,\sqrt{3})}$ ， ${\displaystyle \overrightarrow{b}=(\sqrt{5}+1,-\sqrt{3})}$ の内積を求めよ．

空間ベクトル ${\displaystyle \overrightarrow{a}=(1,1,\sqrt{2})}$ ，${\displaystyle \overrightarrow{b}=(1,2,\sqrt{3})}$ のなす角を ${\displaystyle \theta }$ するとき，${\displaystyle cos\theta }$求めよ．

空間ベクトル ${\displaystyle \overrightarrow{a}=(1,1,\sqrt{2})}$ ，${\displaystyle \overrightarrow{b}=(1,2,\sqrt{3})}$ のなす角を ${\displaystyle \theta }$ するとき，${\displaystyle cos\theta }$求めよ．

空間ベクトル ${\displaystyle \overrightarrow{a}=(1,1,\sqrt{2})}$ ，${\displaystyle \overrightarrow{b}=(1,2,\sqrt{3})}$ のなす角を ${\displaystyle \theta }$ するとき，${\displaystyle cos\theta }$求めよ．

${\displaystyle \overrightarrow{a}=\left(4,1,3\right)}$ ，${\displaystyle \overrightarrow{b}=\left(1,2,1\right)}$ ，${\displaystyle \overrightarrow{c}=\left(2,-1,2\right)}$ の外積 ${\displaystyle \overrightarrow{a}\times \left(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}\right)}$ を求めよ．

${\displaystyle \overrightarrow{a}=\left(4,1,3\right)}$ ，${\displaystyle \overrightarrow{b}=\left(1,2,1\right)}$ ，${\displaystyle \overrightarrow{c}=\left(2,-1,2\right)}$ の外積 ${\displaystyle \overrightarrow{a}\times \left(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}\right)}$ を求めよ．