物体の落下運動と空気抵抗

空気抵抗を無視するので，真空中の運動と考えることができる．真空中で落下する物体にはたらく力は重力のみであり，物体の質量を M 〔kg〕 ，運動の加速度を a 〔 m/s 2 〕 ，また重力加速度をg 〔m/s2〕とすると，運動方程式は Ma=Mg となる．つまり a=g とできるので，物体が落下する加速度は物体の質量とは無関係である．したがって質量が異なる物体でも同じように落下する．
参考：「真空中における自由落下」実験動画

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物体は初速度 v 0 =0m/s で落下するので，この運動は自由落下である．
y= 1 2 g t 2 に y=1.4 , t=0.535 を代入すると，

g= 2y t 2 = 2⋅1.4 0.535 2 =9.78≒9.8  m/s 2

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羽が落下しているときの，ある時刻 t 〔s〕 における瞬間の加速度 a(t) 〔 m/s 2 〕 は dv dt で表すことができる．また，羽がある速度 v 〔m/s〕 で落下しているときの，羽にはたらく力は右の図2のようになる． これらより，羽に対する運動方程式は，

m dv dt =mg−kv

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十分に長い時間，羽が落下したときの羽の速度は， lim t→∞  v(t) である．
(3) より，運動方程式は m dv dt =mg−kv である．
これを変数で分離した形に変形すると，
m k dv dt = mg k −v つまり， dv mg k −v = k m dt
両辺を積分すると，(置換積分法を用いた公式1を用いる.←この公式の使い方の例)
∫ dv mg k −v = ∫ k m dt
− ∫ ( mg k -v ) ' mg k -v dv= ∫ k m dt
−log| mg k −v |= k m t+C
log| mg k −v |=− k m t−C
| mg k −v |= e − k m t−C
| mg k -v |= e - k m t ⋅ e -C
v(t) において， v=0 のとき t=0 である．このとき， e 0 =1 より，
e −C = mg k となる．
よって， v(t)= mg k (1− e − k m t )
これは速度 v と時間 t の関係式である．
十分に長い間，羽が落下したときの速度 lim t→∞  v(t) を求める．
ここで， lim t→∞   e − k m t = lim t→∞   ( 1 e ) k m t であり，ネイピア数 e=2.71⋅⋅⋅ より， 1 e <1 であるから，指数関数の概形を考えると， lim t→∞   ( 1 e ) k m t =0 である．
したがって， lim t→∞  v(t)= mg k (1−0)= mg k  〔m/s〕 である．
mg k は定数であるので，羽は一定の速度で落下するといえる．
(詳しい解き方はKIT数学ナビゲーションへ→変数分離形微分方程式)

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v(t)= mg k (1− e − k m t ) の式をグラフで表すと右図の赤い曲線のようになる． 空気抵抗がない場合の自由落下は加速度 g の等加速度直線運動なので，右図の直線 v=gt のようになる．図より，落下開始直後の t=0 付近では自由落下の振る舞いに近い．

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