ベルヌーイの微分方程式に関する問題

■問題

次の微分方程式の一般解を求めなさい．

${\displaystyle \frac{dy}{dx}+xy=-x{y}^3}$

■答

${\displaystyle y=\pm \frac{1}{\sqrt{C{e}^{x^2}-1}}}$ 　（${\displaystyle C}$は任意定数）

■ヒント

ベルヌーイ微分方程式の解法

${\displaystyle y^{\prime }+P\left(x\right)y=Q\left(x\right)y^n}$ 　　(${\displaystyle n\ne 0,1}$)

${\displaystyle z=y^{1-n}}$とおいて，これを ${\displaystyle x}$と ${\displaystyle z}$の微分方程式に書き換えれば，線形微分方程式になる．

(⇒詳しくはこちら)

■答

${\displaystyle \frac{dy}{dx}+xy=-x{y}^3}$ ･･････(1)

${\displaystyle z=y^{-2}}$  ･･････(2)

とおき，(2)式を${\displaystyle x}$で微分すると

${\displaystyle z^{\prime }=-2y^{-3}{y}^{\prime }}$

${\displaystyle z^{\prime }=-\frac{2}{y^3}{y}^{\prime }}$

この式の両辺に${\displaystyle -\frac{1}{2}{y}^3}$ をかけ，左辺と右辺を入れ換え ると

${\displaystyle y^{\prime }=-\frac{1}{2}{y}^3{z}^{\prime }}$

これを(1)式に代入すると

${\displaystyle -\frac{1}{2}{y}^3{z}^{\prime }+xy=-x{y}^3}$

この式の両辺を${\displaystyle -y^3}$で割ると

${\displaystyle \frac{1}{2}{z}^{\prime }-\frac{x}{y^2}=x}$

さらに両辺に${\displaystyle 2}$をかけると

${\displaystyle z^{\prime }-\frac{2x}{y^2}=2x}$  ･･････(3)

${\displaystyle z=y^{-2}=\frac{1}{y^2}}$なので(3)式に代入すると

${\displaystyle z^{\prime }-2xz=2x}$

線形微分方程式の一般解の公式を利用する

(⇒詳しくはこちら)

線形微分方程式

${\displaystyle y^{\prime }+P\left(x\right)y=Q\left(x\right)}$

の一般解は

${\displaystyle y=e^{-{\displaystyle \int Pdx}}\left({\displaystyle \int Q{e}^{{\displaystyle \int Pdx}}dx}+C\right)}$　（${\displaystyle C}$は任意定数）

このことを利用すると

${\displaystyle z=e^{{\displaystyle \int 2xdx}}\left({\displaystyle \int 2x{e}^{-{\displaystyle \int 2xdx}}dx}+C\right)}$

積分すると

${\displaystyle z}$${\displaystyle =e^{x^2}\left({\displaystyle \int 2x{e}^{-x^2}dx}+C\right)}$

⇒積分方法はこちら

${\displaystyle =e^{x^2}\left(-e^{-x^2}+C\right)}$

${\displaystyle =C{e}^{x^2}-1}$

${\displaystyle z=\frac{1}{y^2}}$ を代入すると

${\displaystyle \frac{1}{y^2}=C{e}^{x^2}-1}$

したがって

${\displaystyle \left(C{e}^{x^2}-1\right)y^2=1}$

${\displaystyle y^2=\frac{1}{C{e}^{x^2}-1}}$

${\displaystyle y=\pm \frac{1}{\sqrt{C{e}^{x^2}-1}}}$

　

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最終更新日： 2024年10月7日