微分方程式の問題

変数分離形微分方程式に関する問題

■問題

次の微分方程式一般解を求めなさい.

dy dx =- 2y

■答

y = A e 2 x (ただし A は任意定数)

■ヒント

変数分離形微分方程式を参照

■解き方

dy dx =- 2y

変数分離形方程式の解法 その3 のように形式的な変形をする

両辺に dx をかけて

d y = - 2 y d x  ・・・・・・(1)

(i) y0 のとき

(1)の両辺を y で割って

1 y d y = - 2 d x

両辺を積分すると

1 y d y = 2 d x + C

積分の基本公式はこちら

log | y | = 2 x + C   (ただし C は任意定数)

log e = 1 なので,右辺を書き換えると

2 x + C = ( 2 x + C ) log e

さらに対数の性質より

( 2 x + C ) log e = log e 2 x + C

よって

log | y | = log e 2 x + C

| y | = e 2 x + C

指数法則より 

e 2 x + C = e C e 2 x

となるので

| y | = e C e 2 x

y = ± e C e 2 x

± e C =A0  とおくと

y = A e 2 x  ・・・・・・(2)

(ii) y=0 のとき

(2)の A=0 のときに相当する.

 

(i), (ii)の結果より

y = A e 2 x (ただし A は任意定数)

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最終更新日: 2023年1月25日