変数分離形微分方程式に関する問題

■問題

次の微分方程式の一般解を求めなさい．

${\displaystyle \frac{dy}{dx}=-\frac{2x}{y}}$

■答

${\displaystyle y^2+2x^2=A}$ 　　　(ただし ${\displaystyle A}$ は任意定数）

■ヒント

変数分離形微分方程式を参照

■解き方

${\displaystyle \frac{dy}{dx}=-\frac{2x}{y}}$

変数分離形方程式の解法 その３ のように形式的な変形をする

両辺に${\displaystyle dx}$ をかけて

${\displaystyle ydy=-2xdx}$

両辺を積分すると

${\displaystyle {\displaystyle \int ydy}={\displaystyle \int -2xdx}+C}$

⇒積分の基本公式はこちら

${\displaystyle \frac{1}{2}{y}^2=-x^2+C}$     (ただし${\displaystyle C}$ は任意定数)

両辺に2をかけて整理すると

${\displaystyle y^2+2x^2=2C\ge 0}$

${\displaystyle 2C=A}$ とおくと

${\displaystyle y^2+2x^2=A}$ 　　　(ただし${\displaystyle A\ge 0}$)

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最終更新日： 2023年1月25日