問題を解くのに必要な知識を確認するにはこのグラフ図を利用してください．

変数分離形微分方程式に関する問題

■問題

次の微分方程式の一般解を求めなさい．

${\displaystyle \sqrt{x-1}{y}^{\prime }=\frac{1}{\sqrt{y}}}$

■答

${\displaystyle y\sqrt{y}=3\sqrt{x-1}+A}$

（ただし${\displaystyle A}$は任意定数）

■ヒント

変数分離形方程式の解法 その３ のように形式的な変形をする

■解き方

${\displaystyle \sqrt{x-1}{y}^{\prime }=\frac{1}{\sqrt{y}}}$

${\displaystyle y^{\prime }=\frac{dy}{dx}}$ 　より　

${\displaystyle {\left(x-1\right)}^{\frac{1}{2}}\frac{dy}{dx}=\frac{1}{y^{\frac{1}{2}}}}$

${\displaystyle y^{\frac{1}{2}}dy=\frac{1}{{\left(x-1\right)}^{\frac{1}{2}}}dx}$

${\displaystyle y^{\frac{1}{2}}dy={\left(x-1\right)}^{-\frac{1}{2}}dx}$

両辺を積分すると

${\displaystyle {\displaystyle \int y^{\frac{1}{2}}dy}={\displaystyle \int {\left(x-1\right)}^{-\frac{1}{2}}dx}+C}$

⇒積分の基本公式はこちら

${\displaystyle \frac{2}{3}{y}^{\frac{3}{2}}=2{\left(x-1\right)}^{\frac{1}{2}}+C}$

${\displaystyle \frac{2}{3}y\sqrt{y}=2\sqrt{x-1}+C}$

(ただし ${\displaystyle C}$は任意定数)

両辺に${\displaystyle \frac{3}{2}}$ をかけると

${\displaystyle y\sqrt{y}=3\sqrt{x-1}+\frac{3}{2}C}$

${\displaystyle \frac{3}{2}C=A}$ とおくと

${\displaystyle y\sqrt{y}=3\sqrt{x-1}+A}$

（ただし${\displaystyle A}$ は任意定数）

ホーム>>カテゴリー分類>>微分>>微分方程式>>変数分離形微分方程式に関する問題>>${\displaystyle \sqrt{x-1}{y}^{\prime }=\frac{1}{\sqrt{y}}}$

最終更新日： 2023年6月17日

[ページトップ]

利用規約

google translate (English version)