問題を解くのに必要な知識を確認するにはこのグラフ図を利用してください．

変数分離形微分方程式に関する問題

■問題

次の微分方程式の一般解を求めなさい．

${\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{e^y}{e^x}}$

■答

${\displaystyle y=-\log \left(e^{-x}+C\right)}$　　（ただし${\displaystyle C}$は任意定数）

■ヒント

変数分離形微分方程式を参照

■解き方

${\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{e^y}{e^x}}$

変数分離形方程式の解法 その３ のように形式的な変形をする

両辺に${\displaystyle dx}$ をかけて

${\displaystyle dy=\frac{e^y}{e^x}dx}$

${\displaystyle \frac{1}{e^y}dy=\frac{1}{e^x}dx}$

${\displaystyle e^{-y}dy=e^{-x}dx}$

両辺を積分すると

${\displaystyle {\displaystyle \int e^{-y}dy}={\displaystyle \int e^{-x}dx}+C^{\prime }}$　(ただし ${\displaystyle C^{\prime }}$ は任意定数)

⇒積分の基本公式はこちら

${\displaystyle -e^{-y}=-e^{-x}+C^{\prime }}$

${\displaystyle e^{-y}=e^{-x}-C^{\prime }}$

${\displaystyle \frac{1}{e^y}=\frac{1}{e^x}-C^{\prime }}$

$C=-C^{\prime }$とおく

${\displaystyle \frac{1}{e^y}=e^{-x}-C}$

${\displaystyle e^y=\frac{e^x}{1-e^{x}C}}$

${\displaystyle e^y={\left(e^{-x}+C\right)}^{-1}}$

${\displaystyle y=\log e^x-\log \left(1-e^{x}C\right)}$

${\displaystyle y=\log {\left(e^{-x}+C\right)}^{-1}}$

${\displaystyle y=-\log \left(e^{-x}+C\right)}$

　

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最終更新日： 2023年6月18日

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