変数分離形微分方程式に関する問題

■部分分数分解のやり方

$\frac{1}{y (y + 1)} d y = \frac{1}{(x - 1) (x + 1)} d x$ ･･････(1)

まず(1)式の左辺を部分分数分解する．左辺を次のように変形する．

$\frac{1}{y (y + 1)} = \frac{A}{y} + \frac{B}{y + 1}$ ･･････(2)

(2)式の右辺を通分すると

$\frac{A}{y} + \frac{B}{y + 1} = \frac{A (y + 1) + B y}{y (y + 1)}$

この式を整理すると

$\frac{A (y + 1) + B y}{y (y + 1)} = \frac{A y + A + B y}{y (y + 1)} = \frac{(A + B) y + A}{y (y + 1)}$

よって(2)式は

$\frac{1}{y (y + 1)} = \frac{(A + B) y + A}{y (y + 1)}$ ･･････(3)

(3)の等式が成立するためには

$A + B = 0$ ， $A = 1$ でなければならない．以上より $B = - 1$ となり(2)式は

$\frac{1}{y (y + 1)} = \frac{1}{y} - \frac{1}{y + 1}$ ･･････(4)

となる．

同様に(1)式の右辺を部分分数分解する．右辺を次のように変形する．

$\frac{1}{(x - 1) (x + 1)} = \frac{C}{x - 1} + \frac{D}{x + 1}$ ･･････(5)

(5)式の右辺を通分すると

$\frac{C}{x - 1} + \frac{D}{x + 1} = \frac{C (x + 1) + D (x - 1)}{(x - 1) (x + 1)}$

この式を整理すると

$\frac{C (x + 1) + D (x - 1)}{(x - 1) (x + 1)} = \frac{(C + D) x + C - D}{(x - 1) (x + 1)}$

よって(5)式は

$\frac{1}{(x - 1) (x + 1)} = \frac{(C + D) x + C - D}{(x - 1) (x + 1)}$ ･･････(6)

(6)の等式が成立するためには

${\begin{matrix} C + D = 0 \\ C - D = 1 \end{matrix}$

でなければならない．以上より

$C = \frac{1}{2}$ ， $D = - \frac{1}{2}$

となり(5)式は

$\frac{1}{(x - 1) (x + 1)}$

$= \frac{\frac{1}{2}}{x - 1} + \frac{- \frac{1}{2}}{x + 1}$

$= \frac{1}{2} (\frac{1}{x - 1} - \frac{1}{x + 1})$ ･･････(7)　

となる．

従って(4)，(7)式より(1)式は次のようになる

$(\frac{1}{y} - \frac{1}{y + 1}) d y = \frac{1}{2} (\frac{1}{x - 1} - \frac{1}{x + 1}) d x$

最終更新日： 2023年6月18日