問題を解くのに必要な知識を確認するにはこのグラフ図を利用してください.

変数分離形微分方程式に関する問題

■問題

次の微分方程式一般解を求めなさい.

y = x y 3 +x y 2 x 3 yxy

■答

y 2 ( x+1 ) ( y+1 ) 2 ( x1 ) =A

(ただし A は任意定数)

■ヒント

変数分離形方程式の解法 その3 のように形式的な変形をする.

■解き方

y = x y 3 +x y 2 x 3 yxy

y = dy dx より

dy dx = x y 2 ( y+1 ) xy( x 2 1 )

  = y( y+1 ) x 2 1

  = y( y+1 ) ( x 1 )( x+1 )

x 2 1=( x1 )( x+1 )

y 0 y 1 の場合

1 y( y+1 ) dy= 1 ( x1 )( x+1 ) dx

両辺の分数を部分分数に分解すると

⇒詳しくはこちら

( 1 y 1 y+1 )dy = 1 2 ( 1 x1 1 x+1 )dx

ここで両辺を積分すると

( 1 y 1 y+1 )dy = 1 2 ( 1 x1 1 x+1 )dx +C

(ただし C は任意定数)

1 y dy 1 y+1 dy = 1 2 1 x1 dx 1 2 1 x+1 dx +C

log| y |log| y+1 | = 1 2 log| x1 | 1 2 log| x+1 | +C

両辺を2倍すると

2log| y |2log| y+1 | =log| x1 | log| x+1 | +2C

対数の性質より,式は次のように変形できる.

log y 2 log ( y+1 ) 2 =log| x1 | log| x+1 | +2C

log{ y 2 ( y+1 ) 2 }=log | x1 | | x+1 | +2C

この式を整理して

log{ y 2 ( y+1 ) 2 }log | x1 | | x+1 | =2C

再び対数の性質を利用して

log{ y 2 ( y+1 ) 2 | x1 | | x+1 | }=2C

log{ y 2 | x+1 | ( y+1 ) 2 | x1 | }=2C

この式の右辺は log e 2C と変形できるので

⇒詳しくはこちら

log{ y 2 | x+1 | ( y+1 ) 2 | x1 | }=log e 2C

したがって

y 2 | x+1 | ( y+1 ) 2 | x1 | = e 2C

y 2 ( x+1 ) ( y+1 ) 2 ( x1 ) =± e 2C

± e 2C =A ( A0 )とおくと

y 2 ( x+1 ) ( y+1 ) 2 ( x1 ) =A

y = 0 y = 1 の場合

y=0 y=1 は微分方程式を満たす.このとき, A=0 となる.

以上より,微分方程式の解は

y 2 ( x+1 ) ( y+1 ) 2 ( x1 ) =A

(ただし A は任意定数)

となる.

 

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最終更新日: 2023年6月18日

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