問題を解くのに必要な知識を確認するにはこのグラフ図を利用してください．

2階線形微分方程式に関する問題

■問題

次の微分方程式の一般解を求めなさい．

${\displaystyle y^{″}+y^{\prime }+y=0}$

■答

${\displaystyle y=e^{-\frac{x}{2}}\left(c_{1}cos\frac{\sqrt{3}}{2}x+c_{2}sin\frac{\sqrt{3}}{2}x\right)}$　　　(ただし ${\displaystyle c_1,c_2}$ は任意定数)

■ヒント

特性方程式を立てると

${\displaystyle t^2+t+1=0}$

となる．

■解き方

${\displaystyle t^2+t+1=0}$

${\displaystyle t=-\frac{1}{2}\pm \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)i}$

よって一般解は

${\displaystyle y=e^{-\frac{x}{2}}\left(c_{1}cos\frac{\sqrt{3}}{2}x+c_{2}sin\frac{\sqrt{3}}{2}x\right)}$　　　(定数係数線形同次微分方程式を参照)

${\displaystyle c_1,c_2}$ は任意定数

　

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最終更新日： 2023年6月20日

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