2階線形微分方程式に関する問題

■問題

次の微分方程式の一般解を求めなさい．

$y^{″} - y^{'} - 2 y = 4 x^{2}$

$y = - 2 x^{2} + 2 x - 3 + c_{1} e^{2 x} + c_{2} e^{- x}$ 　　

(ただし $c_{1}, c_{2}$ は任意定数)

まず,特性方程式を立てると

$t^{2} - t - 2 = 0$

となる．

次に，非同次項が $4 x^{2}$ なので与式の特殊解の一つ

$y_{p}$ は $y_{p} = K_{2} x^{2} + K_{1} x + K_{0}$ の形とする．

$t^{2} - t - 2 = 0$

$(t - 2) (t + 1) = 0$

$t = 2, - 1$

よって一般解は

$y = c_{1} e^{2 x} + c_{2} e^{- x}$ 　　　　　(定数係数線形同次微分方程式を参照)

$c_{1}, c_{2}$ は任意定数

次に，特殊解を解く

${(K_{2} x^{2} + K_{1} x + K_{0})}^{″}$ $- {(K_{2} x^{2} + K_{1} x + K_{0})}^{'}$ $- 2 (K_{2} x^{2} + K_{1} x + K_{0})$ $= 4 x^{2}$

$2 K_{2} - (2 K_{2} x + K_{1})$ $- 2 (K_{2} x^{2} + K_{1} x + K_{0})$ $= 4 x^{2}$

$- 2 K_{2} x^{2} - (2 K_{2} + 2 K_{1}) x$ $+ 2 K_{2} - K_{1} - 2 K_{0}$ $= 4 x^{2}$

${\begin{cases} - 2 K_{2} = 4 \\ 2 K_{2} + 2 K_{1} = 0 \\ 2 K_{2} - K_{1} - 2 K_{0} = 0 \end{cases}$

$K_{2} = - 2, K_{1} = 2, K_{0} = - 3$

よって

$y_{p} = - 2 x^{2} + 2 x - 3$

以上より

$y = - 2 x^{2} + 2 x - 3 + c_{1} e^{2 x} + c_{2} e^{- x}$

最終更新日： 2023年6月20日