微分方程式の公式を使った問題

■問題

次の微分方程式の一般解を求めなさい．

$y^{″} + 2 y = 2 x^{2}$

$y = c_{1} cos \sqrt{2} x + c_{2} sin \sqrt{2} x + x^{2} - 1$

(ただし $c_{1}, c_{2}$ は任意定数)

まず，特性方程式を立てると

$t^{2} + 2 = 0$

となる．

次に，非同次項が $2 x^{2}$ なので与式の特殊解の一つ $y_{p}$ は

$y_{p} = K_{2} x^{2} + K_{1} x + K_{0}$

の形とする．

$t^{2} + 2 = 0$

$t = \pm \sqrt{2} i$

よって一般解は

$y = c_{1} cos \sqrt{2} x + c_{2} sin \sqrt{2} x$ , $c_{1}, c_{2}$ は任意定数

次に，特殊解を解く

${(K_{2} x^{2} + K_{1} x + K_{0})}^{″} + 2 (K_{2} x^{2} + K_{1} x$ $+ K_{0})$ $= 2 x^{2}$

$2 K_{2} x^{2} + 2 K_{1} x + 2 K_{2} + 2 K_{0} = 2 x^{2}$

${\begin{cases} 2 K_{2} = 2 \\ 2 K_{1} = 0 \\ 2 K_{2} + 2 K_{0} = 0 \end{cases}$

$K_{2} = 1$ , $K_{1} = 0$ , $K_{0} = - 1$

よって

$y_{p} = x^{2} - 1$

以上より

$y = c_{1} cos \sqrt{2} x + c_{2} sin \sqrt{2} x + x^{2} - 1$

最終更新日： 2023年6月20日