2階線形微分方程式に関する問題

■問題

次の微分方程式の一般解を求めなさい．

$y^{″} - y^{'} = - 3 x^{2}$

$y = x^{3} + 3 x^{2} + 6 x + c_{1} e^{x} + c_{2}$

(ただし $c_{1}, c_{2}$ は任意定数)

まず，特性方程式を立てると

$t^{2} - t = 0$

となる．

次に，非同次項が $- 3 x^{2}$ なので与式の特殊解の一つ $y_{p}$ は

$y_{p} = x (K_{2} x^{2} + K_{1} x + K_{0})$

の形とする．

$t^{2} - t = 0$

$t (t - 1) = 0$

$t = 0, 1$

よって一般解は

$y = c_{1} e^{x} + c_{2}$ , $c_{1}, c_{2}$ は任意定数

次に，特殊解を解く

${(K_{2} x^{3} + K_{1} x^{2} + K_{0} x)}^{″}$ $- (K_{2} x^{3}$ $+ K_{1} x^{2}$ ${+ K_{0} x)}^{'}$ $= - 3 x^{2}$

$- 3 K_{2} x^{2} + x (6 K_{2} - 2 K_{1}) + 2 K_{1} - K_{0}$ $= - 3 x^{2}$

${\begin{cases} - 3 K_{2} = - 3 \\ 6 K_{2} - 2 K_{1} = 0 \\ 2 K_{1} - K_{0} = 0 \end{cases}$

$K_{2} = 1$ , $K_{1} = 3$ , $K_{0} = 6$

よって

$y_{p} = x^{3} + 3 x^{2} + 6 x$

以上より

$y = x^{3} + 3 x^{2} + 6 x + c_{1} e^{x} + c_{2}$

最終更新日： 2023年6月20日