問題を解くのに必要な知識を確認するにはこのグラフ図を利用してください．

2階線形微分方程式に関する問題

■問題

次の微分方程式の一般解を求めなさい．

${\displaystyle y^{″}-y^{\prime }=-3x^2}$

■答

${\displaystyle y=x^3+3x^2+6x+c_1{e}^x+c_2}$

(ただし${\displaystyle c_1,c_2}$は任意定数)

■ヒント

まず，特性方程式を立てると

${\displaystyle t^2-t=0}$

となる．

次に，非同次項が${\displaystyle -3x^2}$ なので与式の特殊解の一つ ${\displaystyle y_p}$は

${\displaystyle y_p=x\left(K_2{x}^2+K_{1}x+K_0\right)}$

の形とする．

■解き方

特性方程式を解くと,

${\displaystyle t^2-t=0}$

${\displaystyle t\left(t-1\right)=0}$

${\displaystyle t=0,1}$

よって一般解は

${\displaystyle y=c_1{e}^x+c_2}$  ,${\displaystyle c_1,c_2}$は任意定数

(定数係数線形同次微分方程式を参照)

次に，特殊解を解く

${\displaystyle {\left(K_2{x}^3+K_1{x}^2+K_{0}x\right)}^{″}}$${\displaystyle -(K_2{x}^3}$${\displaystyle +K_1{x}^2}$${\displaystyle {+K_{0}x)}^{\prime }}$${\displaystyle =-3x^2}$

${\displaystyle -3K_2{x}^2+x\left(6K_2-2K_1\right)+2K_1-K_0}$${\displaystyle =-3x^2}$

${\displaystyle \{\begin{array}{l}-3K_2=-3\\ 6K_2-2K_1=0\\ 2K_1-K_0=0\end{array}}$

${\displaystyle K_2=1}$,${\displaystyle K_1=3}$,${\displaystyle K_0=6}$

よって

${\displaystyle y_p=x^3+3x^2+6x}$

以上より

${\displaystyle y=x^3+3x^2+6x+c_1{e}^x+c_2}$

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最終更新日： 2023年6月20日

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