2階線形微分方程式に関する問題

■問題

次の微分方程式の一般解を求めなさい．

$y^{″} - y^{'} - 2 y = 4 e^{3 x}$

$y = c_{1} e^{2 x} + c_{2} e^{- x} + e^{3 x}$

(ただし $c_{1}, c_{2}$ は任意定数)

まず，特性方程式を立てると

$t^{2} - t - 2 = 0$

となる．

次に，非同次項が $4 e^{3 x}$ なので与式の特殊解の一つ $y_{p}$ は

$y_{p} = K_{2} e^{3 x}$

の形とする．

$t^{2} - t - 2 = 0$

$(t - 2) (t + 1) = 0$

$t = 2, - 1$

よって一般解は

$y = c_{1} e^{2 x} + c_{2} e^{- x}$ , $c_{1}, c_{2}$ は任意定数

次に，特殊解を解く

${(K_{2} e^{3 x})}^{″}$ $- {(K_{2} e^{3 x})}^{'}$ $- 2 (K_{2} e^{3 x})$ $= 4 e^{3 x}$

$9 K_{2} e^{3 x} - 3 K_{2} e^{3 x} - 2 K_{2} e^{3 x} = 4 e^{3 x}$

$4 K_{2} e^{3 x} = 4 e^{3 x}$

$K_{2} = 1$

よって

$y_{p} = e^{3 x}$

以上より

$y = c_{1} e^{2 x} + c_{2} e^{- x} + e^{3 x}$

最終更新日： 2023年6月20日