2階線形微分方程式に関する問題

■問題

次の微分方程式の一般解を求めなさい．

$y^{″} - y^{'} - 2 y = 18 x e^{2 x}$

$y = (3 x^{2} - 2 x) e^{2 x} + c_{2} e^{2 x} + c_{1} e^{- x}$

(ただし $c_{1}, c_{2}$ は任意定数)

まず，特性方程式を立てると

$t^{2} - t - 2 = 0$

となる．

次に，非同次項が $18 x e^{2 x}$ なので与式の特殊解の一つ $y_{p}$ は

$y_{p} = (K_{2} x^{2} + K_{1} x) e^{2 x}$

の形とする．

まず特性方程式を解くと

$t^{2} - t - 2 = 0$

$(t - 2) (t + 1) = 0$

$t = 2, - 1$

よって一般解は

$y = c_{2} e^{2 x} + c_{1} e^{- x}$ , $c_{1}, c_{2}$ は任意定数

次に，特殊解を解く

${(K_{2} x^{2} + K_{1} x) e^{2 x}}^{″}$ $- {(K_{2} x^{2}$ ${+ K_{1} x) e^{2 x}}}^{'}$ $- 2 {(K_{2} x^{2}$ $+ K_{1} x) e^{2 x}}$ $= 18 x e^{2 x}$

$2 K_{2} e^{2 x} + 6 K_{2} x e^{2 x} + 3 K_{1} e^{2 x} = 18 x e^{2 x}$

${\begin{cases} 6 K_{2} = 18 \\ 2 K_{2} + 3 K_{1} = 0 \end{cases}$

$K_{2} = 3$ , $K_{1} = - 2$

よって

$y_{p} = (3 x^{2} - 2 x) e^{2 x}$

以上より

$y = (3 x^{2} - 2 x) e^{2 x} + c_{2} e^{2 x} + c_{1} e^{- x}$

最終更新日： 2023年6月20日