2階線形微分方程式に関する問題

■問題

次の微分方程式の一般解を求めなさい．

$y^{″} - 2 y^{'} + 2 y = 2 e^{x} \cos 2 x$

■答

$y = - \frac{2}{3} e^{x} cos 2 x + e^{x} (c_{2} cos x + c_{1} sin x)$

(ただし $c_{1}, c_{2}$ は任意定数)

■ヒント

まず，特性方程式を立てると

$t^{2} - 2 t + 2 = 0$

となる．

次に，非同次項が $2 e^{x} cos 2 x$ なので与式の特殊解の一つ $y_{p}$ は

$y_{p} = e^{x} (K_{2} cos 2 x + K_{1} sin 2 x)$

の形とする．

■解き方

特性方程式を解くと

$t^{2} - 2 t + 2 = 0$

$t = 1 \pm i$

よって一般解は

$y = e^{x} (c_{2} cos x + c_{1} sin x)$ , $c_{1}, c_{2}$ は任意定数

(定数係数線形同次微分方程式を参照)

次に，特殊解を解く

${e^{x} (K_{2} \cos 2 x + K_{1} \sin 2 x)}^{″}$ $- 2 {e^{x} (K_{2} \cos 2 x$ ${+ K_{1} \sin 2 x)}}^{'}$ $+ 2 {e^{x} (K_{2} \cos 2 x$ $+ K_{1} \sin 2 x)}$ $= 2 e^{x} \cos 2 x$

$e^{x} (- 3 K_{2} \cos 2 x - 3 K_{1} \sin 2 x)$ $= 2 e^{x} \cos 2 x$

${\begin{cases} - 3 K_{2} = 2 \\ - 3 K_{1} = 0 \end{cases}$

$K_{2} = - \frac{2}{3}$ , $K_{1} = 0$

よって

$y_{p} = - \frac{2}{3} e^{x} cos 2 x$

以上より

$y = - \frac{2}{3} e^{x} cos 2 x + e^{x} (c_{2} cos x + c_{1} sin x)$

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最終更新日： 2023年6月20日