2階線形微分方程式に関する問題

■問題

次の微分方程式の一般解を求めなさい．

$y^{″} - y^{'} - 2 y = 9 e^{2 x}$

$y = c_{1} e^{2 x} + c_{2} e^{- x} + 3 x e^{2 x}$

(ただし $c_{1}, c_{2}$ は任意定数)

まず，特性方程式を立てると

$t^{2} - t - 2 = 0$

となる．

次に，非同次項が $9 e^{2 x}$ なので与式の特殊解の一つ $y_{p}$ は

$y_{p} = K x e^{2 x}$

の形とする．

$t^{2} - t - 2 = 0$

$(t - 2) (t + 1) = 0$

$t = 2, - 1$

よって一般解は

$y = c_{1} e^{2 x} + c_{2} e^{- x}$ , $c_{1}, c_{2}$ は任意定数

次に，特殊解を解く

${(K x e^{2 x})}^{″} - {(K x e^{2 x})}^{'} - 2 (K x e^{2 x})$ $= 9 e^{2 x}$

$3 K e^{2 x} = 9 e^{2 x}$

$3 K = 9$

$K = 3$

よって

$y_{p} = 3 x e^{2 x}$

以上より

$y = c_{1} e^{2 x} + c_{2} e^{- x} + 3 x e^{2 x}$

最終更新日： 2023年6月20日