微分演算子，逆演算子に関する問題

■問題

次の微分方程式の一般解を求めなさい．

$(D^{2} - 5 D + 6) y = 18 x$

$y = c_{1} e^{3 x} + c_{2} e^{2 x} + 3 x + \frac{5}{2}$

(ただし， $c_{1}$ ， $c_{2}$ は任意定数)

$\frac{1}{D^{2} - 5 D + 6} 18 x$ $= \frac{1}{(D - 3) (D - 2)} 18 x$

$= (\frac{1}{D - 3} - \frac{1}{D - 2}) 18 x$

$= e^{3 x} \int e^{- 3 x} \cdot 18 x d x$ $- e^{2 x} \int e^{- 2 x} \cdot 18 x d x$

$= e^{3 x} \cdot 18 {- \frac{1}{3} e^{- 3 x} (x + \frac{1}{3})}$ $- e^{2 x} \cdot 18 {- \frac{1}{2} e^{- 2 x} (x + \frac{1}{2})}$

$= 3 x + \frac{5}{2}$

特性方程式は

$t^{2} - 5 t + 6 = 0$

より

$(t - 3) (t - 2) = 0$

$t = 3, 2$

よって，同次方程式の一般解は

$c_{1} e^{3 x} + c_{2} e^{2 x}$ 　　(定数係数線形同時微分方程式を参照)

$c_{1}$ ， $c_{2}$ は任意定数

以上より，一般解は

$y = c_{1} e^{3 x} + c_{2} e^{2 x} + 3 x + \frac{5}{2}$

となる.

最終更新日： 2023年6月28日