微分演算子，逆演算子に関する問題

■問題

次の微分方程式の一般解を求めなさい．

$(D^{2} - 8 D + 15) y = e^{4 x}$

$y = c_{1} e^{3 x} + c_{2} e^{5 x} - e^{4 x}$

(ただし， $c_{1}$ ， $c_{2}$ は任意定数)

$\frac{1}{D^{2} - 8 D + 15} e^{4 x}$ $= \frac{1}{(D - 5) (D - 3)} e^{4 x}$

$= \frac{1}{2} (\frac{1}{D - 5} - \frac{1}{D - 3}) e^{4 x}$

$= \frac{1}{2} (e^{5 x} \int e^{- 5 x} \cdot e^{4 x} d x$ $- e^{3 x} \int e^{- 3 x} \cdot e^{4 x} d x)$

$= \frac{1}{2} {e^{5 x} (- e^{- x}) - e^{3 x} (e^{x})}$

$= \frac{1}{2} (- 2 e^{4 x})$

$= - e^{4 x}$

特性方程式は

$t^{2} - 8 t + 18 = 0$

より

$(t - 3) (t - 5) = 0$

$t = 3, 5$

よって，同次方程式の一般解は

$c_{1} e^{3 x} + c_{2} e^{5 x}$ 　　(定数係数線形同時微分方程式を参照)

$c_{1}$ ， $c_{2}$ は任意定数

以上より，一般解は

$y = c_{1} e^{3 x} + c_{2} e^{5 x} - e^{4 x}$

となる.

最終更新日： 2023年6月28日