問題を解くのに必要な知識を確認するにはこのグラフ図を利用してください．

微分演算子，逆演算子に関する問題

■問題

次の微分方程式の一般解を求めなさい．

${\displaystyle \left(D^2-8D+15\right)y=e^{4x}}$

■答

${\displaystyle y=c_1{e}^{3x}+c_2{e}^{5x}-e^{4x}}$

(ただし，${\displaystyle c_1}$ ，${\displaystyle c_2}$ は任意定数)

■ヒント

逆演算子を部分分数に分解して解く．この公式を参照．

■解き方

●特殊解

${\displaystyle \frac{1}{D^2-8D+15}{e}^{4x}}$ ${\displaystyle =\frac{1}{\left(D-5\right)\left(D-3\right)}{e}^{4x}}$

部分分数に分解する

${\displaystyle =\frac{1}{2}\left(\frac{1}{D-5}-\frac{1}{D-3}\right)e^{4x}}$

この公式を利用するする

${\displaystyle =\frac{1}{2}(e^{5x}{\displaystyle \int e^{-5x}\cdot e^{4x}dx}}$${\displaystyle -e^{3x}{\displaystyle \int e^{-3x}\cdot e^{4x}dx})}$

${\displaystyle =\frac{1}{2}\left\{e^{5x}\left(-e^{-x}\right)-e^{3x}\left(e^x\right)\right\}}$

${\displaystyle =\frac{1}{2}\left(-2e^{4x}\right)}$

${\displaystyle =-e^{4x}}$

●同次方程式${\displaystyle (D^2-8D+15)y=0}$ の一般解

特性方程式は

${\displaystyle t^2-8t+18=0}$

より

${\displaystyle \left(t-3\right)\left(t-5\right)=0}$

${\displaystyle t=3,5}$

よって，同次方程式の一般解は

${\displaystyle c_1{e}^{3x}+c_2{e}^{5x}}$ 　　(定数係数線形同時微分方程式を参照)

${\displaystyle c_1}$ ，${\displaystyle c_2}$は任意定数

●一般解

以上より，一般解は

${\displaystyle y=c_1{e}^{3x}+c_2{e}^{5x}-e^{4x}}$

となる.

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最終更新日： 2023年6月28日

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