微分演算子，逆演算子に関する問題

■問題

次の逆演算子の計算をせよ．

$y = \frac{1}{D + 2} cos 3 x$

■答

$y = \frac{1}{13} (2 cos 3 x + 3 sin 3 x)$

■ヒント

逆演算子の公式を用いる．

■解き方

$y$ $= \frac{1}{D + 2} cos 3 x$ $= e^{- 2 x} \int e^{2 x} cos 3 x d x$

この公式を使うと便利である

${\begin{cases} \int e^{α x} cos β x d x = \frac{e^{α x}}{α^{2} + β^{2}} (α cos β x + β sin β x) \\ \int e^{α x} sin β x d x = \frac{e^{α x}}{α^{2} + β^{2}} (α sin β x - β cos β x) \end{cases}$

$= e^{- 2 x} \frac{e^{2 x}}{2^{2} + 3^{2}} (2 cos 3 x + 3 sin 3 x)$

$= \frac{1}{13} (2 cos 3 x + 3 sin 3 x)$

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最終更新日： 2023年6月28日