微分演算子，逆演算子に関する問題

■問題

次の計算をせよ．

$\frac{1}{D + 2} x^{3}$

$\frac{1}{2} x^{3} - \frac{3}{4} x^{2} + \frac{3}{4} x - \frac{3}{8}$

逆演算子の公式を用いて解く．公式が活用できるように，以下のように逆演算子を変形するとよい．このマクローリン展開の問題例が参考になる．

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1 + \frac{D}{2}} x^{3}$

これを解くと,

$\frac{1}{D + 2} x^{3}$ $= \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1 + \frac{D}{2}} x^{3}$

$= \frac{1}{2} (1 - \frac{D}{2} + \frac{D^{2}}{4} - \frac{D^{3}}{8} + \dots) x^{3}$

$= \frac{1}{2} (x^{3} - \frac{3}{2} x^{2} + \frac{6}{4} x - \frac{6}{8})$

$= \frac{1}{2} x^{3} - \frac{3}{4} x^{2} + \frac{3}{4} x - \frac{3}{8}$

最終更新日： 2023年6月29日