問題を解くのに必要な知識を確認するにはこのグラフ図を利用してください．

変数分離形微分方程式に関する問題

■問題

次の微分方程式の一般解を求めなさい．

${\displaystyle y^{2}dx-x^{3}dy=0}$

■答

${\displaystyle y=\frac{2x^2}{1+A{x}^2}}$

（ただし${\displaystyle A}$ は任意定数）

■ヒント

変数分離形微分方程式を参照

■解き方

${\displaystyle y^{2}dx-x^{3}dy=0}$

${\displaystyle y^{2}dx=x^{3}dy}$

${\displaystyle \frac{1}{x^3}dx=\frac{1}{y^2}dy}$

${\displaystyle x^{-3}dx=y^{-2}dy}$

両辺を積分すると

${\displaystyle {\displaystyle \int x^{-3}dx}={\displaystyle \int y^{-2}dy}+C}$

⇒積分の基本公式はこちら

${\displaystyle -\frac{1}{2}{x}^{-2}=-y^{-1}+C}$

(ただし ${\displaystyle C}$ は任意定数)

この式を整理すると

${\displaystyle \frac{1}{y}=\frac{1}{2x^2}+C}$

${\displaystyle =\frac{1+2C{x}^2}{2x^2}}$

したがって

${\displaystyle y=\frac{2x^2}{1+2C{x}^2}}$

${\displaystyle 2C=A}$  とおくと

${\displaystyle y=\frac{2x^2}{1+A{x}^2}}$

（ただし ${\displaystyle A}$ は任意定数）

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最終更新日： 2019年10月28日

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