2階線形微分方程式に関する問題

■問題

次の微分方程式の一般解を求めなさい．

$y^{″} + 4 y = 4 \cos 2 x$

$y = x sin 2 x + c_{2} sin 2 x + c_{1} cos 2 x$

(ただし $c_{1}, c_{2}$ は任意定数)

まず，特性方程式を立てると

$t^{2} + 4 = 0$

となる．

次に,非同次項が $4 cos 2 x$ なので与式の特殊解の一つ $y_{p}$ は

$y_{p} = x (K_{2} sin 2 x + K_{1} cos 2 x)$

の形とする．

まず特性方程式を解くと

$t^{2} + 4 = 0$

$t = \pm 2 i$

よって一般解は

$y = c_{2} sin 2 x + c_{1} cos 2 x$ , $c_{1}, c_{2}$ は任意定数

次に，特殊解を解く

${(K_{2} x \sin 2 x + K_{1} x \cos 2 x)}^{″}$ $+ 4 (K_{2} x \sin 2 x$ $+ K_{1} x \cos 2 x)$ $= 4 \cos 2 x$

$4 K_{2} cos 2 x - 4 K_{1} sin 2 x = 4 cos 2 x$

$K_{2} = 1$ , $K_{1} = 0$

よって

$y_{p} = x sin 2 x$

以上より

$y = x sin 2 x + c_{2} sin 2 x + c_{1} cos 2 x$

最終更新日： 2023年6月20日