微分の計算問題

■問題

次の問題を微分せよ．

$y = \sqrt[3]{4 - x^{2}}$

■答

$y^{'} = - \frac{2 x}{3 \sqrt[3]{{(4 - x^{2})}^{2}}}$

■ヒント

合成関数の微分より

${f (g (x))}^{'} = f^{'} (g (x)) g^{'} (x)$

$\frac{d y}{d x} = \frac{d y}{d u} \cdot \frac{d u}{d x}$

の公式を用いる．

■解説

$y = \sqrt[3]{4 - x^{2}}$

（計算しやすいように，式を指数を用いた形に変形する）

$= {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{3}}$

（ $\sqrt[3]{4 - x^{2}} = {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{3}}$ ）

$y = f (u) = u^{\frac{1}{3}}$ ， $u = g (x) = 4 - x^{2}$

とおくと

$y = f (g (x))$

となる．

合成関数の公式を適用すると

$y^{'} = \frac{1}{3} {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{3} - 1} {(4 - x^{2})}^{'}$

(基本となる関数の導関数を参照)

$= \frac{1}{3} {(4 - x^{2})}^{- \frac{2}{3}} \cdot (- 2 x)$ $= - \frac{2 x}{3 \sqrt[3]{{(4 - x^{2})}^{2}}}$

●別解

$y = \sqrt[3]{4 - x^{2}}$

を

$y = \sqrt[3]{u}$ ， $u = 4 - x^{2}$

とおく

$\frac{d y}{d u} = \frac{d}{d u} (\sqrt[3]{u}) = \frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{3}}) = \frac{1}{3} u^{- \frac{2}{3}}$

$\frac{d u}{d x} = \frac{d}{d x} (4 - x^{2}) = - 2 x$

よって

$\frac{d y}{d x} = \frac{d y}{d u} \cdot \frac{d u}{d x} = \frac{1}{3} u^{- \frac{2}{3}} \cdot (- 2 x)$ $= \frac{1}{3} {(4 - x^{2})}^{- \frac{2}{3}} \cdot (- 2 x)$

（ $u = 4 - x^{2}$ と置き換えていたのを元に戻す）

$= - \frac{2 x}{3 \sqrt[3]{{(4 - x^{2})}^{2}}}$

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最終更新日： 2023年10月9日