微分の計算問題

■問題

次の問題を微分せよ．

$y = e^{3 x}$ $y = e^{3 x}$

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■答

$y = {3e}^{3 x}$ $y = {3e}^{3 x}$

■ヒント

合成関数の微分

$\frac{d y}{d x} = \frac{d y}{d u} \cdot \frac{d u}{d x}$ $\frac{d y}{d x} = \frac{d y}{d u} \cdot \frac{d u}{d x}$

の公式を用いる．

■解説

$y = e^{3 x}$ $y = e^{3 x}$

を

$y = e^{u}$ $y = e^{u}$ ， $u = 3 x$ $u = 3 x$

とおく．

$\frac{d y}{d u} = e^{u}$ $\frac{d y}{d u} = e^{u}$ ， $\frac{d u}{d x} = 3$ $\frac{d u}{d x} = 3$

よって

$\frac{d y}{d x} = \frac{d y}{d u} \cdot \frac{d u}{d x}$ $\frac{d y}{d x} = \frac{d y}{d u} \cdot \frac{d u}{d x}$ $= e^{u} \cdot (3)$ $= e^{u} \cdot (3)$ $= {3e}^{3 x}$ $= {3e}^{3 x}$

●別解

合成関数の微分

${f (g (x))}^{'} = f^{'} (g (x)) \cdot g^{'} (x)$ ${f (g (x))}^{'} = f^{'} (g (x)) \cdot g^{'} (x)$

の公式を用いた場合

$y = e^{3 x}$ $y = e^{3 x}$ ， $f (u) = e^{u}$ $f (u) = e^{u}$ ， $u = g (x) = 3 x$ $u = g (x) = 3 x$

と考える．

$f^{'} (u) = e^{u}$ $f^{'} (u) = e^{u}$ →　 $f^{'} (g (x)) = e^{3 x}$ $f^{'} (g (x)) = e^{3 x}$ ， $g^{'} (x) = 3$ $g^{'} (x) = 3$

となる．よって

$y^{'} = f^{'} (g (x)) \cdot g^{'} (x)$ $y^{'} = f^{'} (g (x)) \cdot g^{'} (x)$ ${= e}^{3 x} \cdot 3$ ${= e}^{3 x} \cdot 3$ ${= 3e}^{3 x}$ ${= 3e}^{3 x}$

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最終更新日： 2025年2月20日