基本的な関数の微分　 $x^{2}$ $x^{2}$

■問題

次の関数の導関数を微分の公式および導関数の定義式を用いて求めよ．

$f (x) = x^{2}$ $f (x) = x^{2}$

$f^{'} (x) = 2 x$ $f^{'} (x) = 2 x$

$f^{'} (x) = 2 \cdot x^{2 - 1}$ $f^{'} (x) = 2 \cdot x^{2 - 1}$ $= 2 x$ $= 2 x$

となる．

$f^{'} (x) = lim Δ x \to 0 \frac{{(x + Δ x)}^{2} - x^{2}}{Δ x}$ $f^{'} (x) = lim_{Δ x \to 0} \frac{{(x + Δ x)}^{2} - x^{2}}{Δ x}$

$= lim Δ x \to 0 \frac{(x^{2} + 2 x Δ x + {(Δ x)}^{2}) - x^{2}}{Δ x}$ $= lim_{Δ x \to 0} \frac{(x^{2} + 2 x Δ x + {(Δ x)}^{2}) - x^{2}}{Δ x}$

$= lim Δ x \to 0 \frac{2 x Δ x + {(Δ x)}^{2}}{Δ x}$ $= lim_{Δ x \to 0} \frac{2 x Δ x + {(Δ x)}^{2}}{Δ x}$

$= lim Δ x \to 0 (2 x + Δ x)$ $= lim_{Δ x \to 0} (2 x + Δ x)$

$= 2 x$ $= 2 x$

となる．

最終更新日： 2025年3月24日