問題を解くのに必要な知識を確認するにはこのグラフ図を利用してください．

フーリエ変換の問題

■問題

次の関数${\displaystyle f\left(x\right)}$ が，偶関数か奇関数かを判断し，偶関数ならは関数 ${\displaystyle f\left(x\right)}$ のフーリエ余弦変換 ${\displaystyle F_x\left(\omega \right)}$ を，奇関数ならば関数 ${\displaystyle f\left(x\right)}$ のフーリエ正弦変換 ${\displaystyle F_s\left(\omega \right)}$ を求めよ．

${\displaystyle f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{cc}{e}^x& \left(x<0\right)\\ e^{-x}& \left(x\geqq 0\right)\end{array}\right.}$

■解答

${\displaystyle F_c\left(\omega \right)=\frac{1}{1+{\omega }^2}\sqrt{\frac{2}{\pi }}}$

■解き方

${\displaystyle f\left(x\right)}$ は偶関数である．よって，フーリエ余弦変換${\displaystyle F_c\left(\omega \right)}$ を求める．

${\displaystyle F_c\left(\omega \right)=\sqrt{\frac{2}{\pi }}{\displaystyle {\int }_0^{\infty }f\left(x\right)\cos \omega xdx}}$

${\displaystyle =\sqrt{\frac{2}{\pi }}{\displaystyle {\int }_0^{\infty }{e}^{-x}\cos \omega xdx}}$

${\displaystyle I={\displaystyle {\int }_0^{\infty }{e}^{-x}\cos \omega xdx}}$ とおく．

${\displaystyle I={\displaystyle {\int }_0^{\infty }{\left(e^{-x}\right)}^{\prime }\cos \omega xdx}}$

部分積分法を用いている

${\displaystyle ={\left[-e^{-x}\cos \omega x\right]}_0^{\infty }-{\displaystyle {\int }_0^{\infty }\left(-e^{-x}\right)\left(-\omega \sin \omega x\right)dx}}$

${\displaystyle =0+1-\omega {\displaystyle {\int }_0^{\infty }{\left(-e^{-x}\right)}^{\prime }\sin \omega xdx}}$

${\displaystyle =1-\omega \left\{{\left[-e^{-x}\sin \omega x\right]}_0^{\infty }-{\displaystyle {\int }_0^{\infty }\left(-e^{-x}\right)\omega \cos \omega xdx}\right\}}$

${\displaystyle =1-\omega \left\{0+\omega {\displaystyle {\int }_0^{\infty }{e}^{-x}\cos \omega xdx}\right\}}$

${\displaystyle =1-{\omega }^{2}I}$

よって

${\displaystyle I=1-{\omega }^{2}I}$

${\displaystyle \left(1+{\omega }^2\right)I=1}$

${\displaystyle I=\frac{1}{1+{\omega }^2}}$

したがって

${\displaystyle F_c\left(\omega \right)=\frac{1}{1+{\omega }^2}\sqrt{\frac{2}{\pi }}}$

　

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最終更新日： 2023年7月6日

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