フーリエ変換の問題

■問題

次の関数 $f (x)$ が，偶関数か奇関数かを判断し，偶関数ならは関数 $f (x)$ のフーリエ余弦変換 $F_{x} (ω)$ を，奇関数ならば関数 $f (x)$ のフーリエ正弦変換 $F_{s} (ω)$ を求めよ．

$f (x) = \{\begin{matrix} e^{x} & (x < 0) \\ e^{- x} & (x ≧ 0) \end{matrix}$

$F_{c} (ω) = \frac{1}{1 + ω^{2}} \sqrt{\frac{2}{π}}$

$f (x)$ は偶関数である．よって，フーリエ余弦変換 $F_{c} (ω)$ を求める．

$F_{c} (ω) = \sqrt{\frac{2}{π}} \int_{0}^{\infty} f (x) \cos ω x d x$

$= \sqrt{\frac{2}{π}} \int_{0}^{\infty} e^{- x} \cos ω x d x$

$I = \int_{0}^{\infty} e^{- x} \cos ω x d x$ とおく．

$I = \int_{0}^{\infty} {(e^{- x})}^{'} \cos ω x d x$

部分積分法を用いている

$= {[- e^{- x} \cos ω x]}_{0}^{\infty} - \int_{0}^{\infty} (- e^{- x}) (- ω \sin ω x) d x$

$= 0 + 1 - ω \int_{0}^{\infty} {(- e^{- x})}^{'} \sin ω x d x$

$= 1 - ω {{[- e^{- x} \sin ω x]}_{0}^{\infty} - \int_{0}^{\infty} (- e^{- x}) ω \cos ω x d x}$

$= 1 - ω {0 + ω \int_{0}^{\infty} e^{- x} \cos ω x d x}$

$= 1 - ω^{2} I$

よって

$I = 1 - ω^{2} I$

$(1 + ω^{2}) I = 1$

$I = \frac{1}{1 + ω^{2}}$

したがって

$F_{c} (ω) = \frac{1}{1 + ω^{2}} \sqrt{\frac{2}{π}}$

最終更新日： 2023年7月6日