複素数の計算

■問題

次の式を極形式で示せ．　

${\displaystyle 1-i}$

■答

${\displaystyle z=\sqrt{2}\left\{\cos \left(-45°\right)+i\sin \left(-45°\right)\right\}}$

${\displaystyle z=\sqrt{2}\left\{\cos \left(-\frac{\pi }{4}\right)+i\sin \left(-\frac{\pi }{4}\right)\right\}}$ 　

■解答

問題を解く前に，極形式とは何かを理解する．　⇒複素平面

与式より

${\displaystyle \left|z\right|=\sqrt{1^2+{\left(-1\right)}^2}=\sqrt{2}}$ 　

よって，与式より${\displaystyle \sqrt{2}}$ をくくりだす．

${\displaystyle 1-i=\sqrt{2}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{2}}i\right)}$　　･･････(1)

極形式${\displaystyle z=r\left(\cos \theta +i\sin \theta \right)}$と(1)を比較すると

${\displaystyle \cos \theta =\frac{1}{\sqrt{2}}}$ ，${\displaystyle \sin \theta =-\frac{1}{\sqrt{2}}}$

となる．よって

${\displaystyle \theta =-{45}^{°}=-\frac{\pi }{4}}$

となり，与式は極形式で次のように表わすことができる．

${\displaystyle z=\sqrt{2}\left\{\cos \left(-45°\right)+i\sin \left(-45°\right)\right\}}$

${\displaystyle z=\sqrt{2}\left\{\cos \left(-\frac{\pi }{4}\right)+i\sin \left(-\frac{\pi }{4}\right)\right\}}$ 　

 

 

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最終更新日： 2023年2月25日