複素数の計算

■問題

２つの問題の解(問題1，問題２)を利用して， $(1 + \sqrt{3} i) (1 - i)$ を極形式で示せ．

$2 \sqrt{2} (\cos \frac{π}{12} + i \sin \frac{π}{12})$

問題を解く前に，極形式とは何かを理解する．　⇒複素平面

$1 + \sqrt{3} i$ の極形式は問題１より

$1 + \sqrt{3} i$ $= 2 (\cos \frac{π}{3} + i \sin \frac{π}{3})$

$1 - i$ の極形式は問題２より

$1 - i$ $= \sqrt{2} {\cos (- \frac{π}{4}) + i \sin (- \frac{π}{4})}$

である．よって，与式は

$(1 + \sqrt{3} i) (1 - i)$

$= 2 (\cos \frac{π}{3} + i \sin \frac{π}{3})$ $\times \sqrt{2} {\cos (- \frac{π}{4}) + i \sin (- \frac{π}{4})}$

ここで複素数の積の公式を用いる．

$= 2 \sqrt{2} {\cos (\frac{π}{3} - \frac{π}{4}) + i \sin (\frac{π}{3} - \frac{π}{4})}$

$= 2 \sqrt{2} {\cos (\frac{4 π}{12} - \frac{3 π}{12}) + i \sin (\frac{4 π}{12} - \frac{3 π}{12})}$

$= 2 \sqrt{2} (\cos \frac{π}{12} + i \sin \frac{π}{12})$

最終更新日： 2023年2月25日