複素数の計算

■問題

２つの問題の解(問題1，問題２)を利用して， ${\displaystyle \frac{1+\sqrt{3}i}{1-i}}$ を極形式で示せ．　

■答

${\displaystyle \sqrt{2}\left\{\cos \left(\frac{7\pi }{12}\right)+i\sin \left(\frac{7\pi }{12}\right)\right\}}$

■解説

問題を解く前に，極形式とは何かを理解する．　⇒複素平面

${\displaystyle 1+\sqrt{3}i}$ の極形式は問題１より

${\displaystyle 1+\sqrt{3}i}$${\displaystyle =2\left(\cos \frac{\pi }{3}+i\sin \frac{\pi }{3}\right)}$

${\displaystyle 1-i}$ の極形式は問題２より

${\displaystyle 1-i}$${\displaystyle =\sqrt{2}\left\{\cos \left(-\frac{\pi }{4}\right)+i\sin \left(-\frac{\pi }{4}\right)\right\}}$

である．よって，与式は

${\displaystyle \frac{1+\sqrt{3}i}{1-i}}$${\displaystyle =\frac{2\left(\cos \frac{\pi }{3}+i\sin \frac{\pi }{3}\right)}{\sqrt{2}\left\{\cos \left(-\frac{\pi }{4}\right)+i\sin \left(-\frac{\pi }{4}\right)\right\}}}$

ここで複素数の商の公式を用いる．

${\displaystyle =\frac{2}{\sqrt{2}}\left\{\cos \left(\frac{7\pi }{12}\right)+i\sin \left(\frac{7\pi }{12}\right)\right\}}$

最後に分母の有理化を行う．

${\displaystyle =\sqrt{2}\left\{\cos \left(\frac{7\pi }{12}\right)+i\sin \left(\frac{7\pi }{12}\right)\right\}}$

 

 

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最終更新日： 2023年2月25日