複素数の方程式

■問題

複素平面において，方程式

${\displaystyle \left|z-4i\right|=2\left|z-3-i\right|}$

を満たす点 $z$ の軌跡を求めよ．

■答

点 ${\displaystyle 4}$ を中心とする半径 ${\displaystyle 2\sqrt{2}}$ の円

■ヒント

${\displaystyle \left|z-4i\right|}$ は，点 ${\displaystyle 4i}$ から点 $z$ までの距離． ${\displaystyle \left|z-3-i\right|}$ は，点 ${\displaystyle 3+i}$ から点 $z$ までの距離．

${\displaystyle \left|z-4i\right|=2\left|z-3-i\right|}$ ${\displaystyle \iff \left|z-4i\right|:\left|z-3-i\right|=2:1}$

■解答

${\displaystyle \left|z-4i\right|=2\left|z-3-i\right|}$ ･･････(1)

(1)の両辺を2乗する．

${\displaystyle {\left|z-4i\right|}^2=4{\left|z-3-i\right|}^2}$

${\displaystyle \left(z-4i\right)\left(\overline{z-4i}\right)}$ ${\displaystyle =4\left(z-3-i\right)\left(\overline{z-3-i}\right)}$ （∵ ${\displaystyle {\left|z\right|}^2=z\overline{z}}$  複素数の絶対値を参照）

${\displaystyle \left(z-4i\right)\left(\overline{z}+4i\right)}$ ${\displaystyle =4\left(z-3-i\right)\left(\overline{z}-3+i\right)}$ （∵ ${\displaystyle \overline{\alpha -\beta }=\overline{\alpha }-\overline{\beta }}$   共役な複素数の基本式を参照）

${\displaystyle z\overline{z}+4iz-4i\overline{z}+16}$ ${\displaystyle =4\left(z\overline{z}-3z+iz-3\overline{z}-i\overline{z}+10\right)}$

${\displaystyle z\overline{z}+4iz-4i\overline{z}+16}$ ${\displaystyle =4z\overline{z}-12z+4iz-12\overline{z}-4i\overline{z}+40}$

${\displaystyle -3z\overline{z}+12z+12\overline{z}=24}$

${\displaystyle z\overline{z}-4z-4\overline{z}=-8}$

${\displaystyle \left(z-4\right)\left(\overline{z}-4\right)-16=-8}$

${\displaystyle \left(z-4\right)\left(\overline{z-4}\right)=8}$

${\displaystyle {\left|z-4\right|}^2=8}$

${\displaystyle \left|z-4\right|=2\sqrt{2}}$ ･･････(2)

(2)は， ${\displaystyle 4}$ を中心とする半径 ${\displaystyle 2\sqrt{2}}$ の円の方程式である．

■備考

ヒントより，点 ${\displaystyle 4i}$ から点 $z$ までの距離と 点 ${\displaystyle 3+i}$ から点 $z$ までの距離の比が， ${\displaystyle 2:1}$ になっている．このことより，点 $z$ の軌跡は円（アポロニウスの円）になる．

アポロニウスの円は，点 ${\displaystyle 4i}$ と点 ${\displaystyle 3+i}$ を結ぶ線分を $2:1$ に内分する点と外分する点を結ぶ線分を直径とする円である，

内分点は

${\displaystyle \frac{nq+mp}{m+n}=\frac{1\cdot 4i+2\left(3+i\right)}{2+1}}$ ${\displaystyle =2+2i}$

外分点は

${\displaystyle \frac{-np+mq}{m-n}=\frac{-1\cdot 4i+2\left(3+i\right)}{1-2}}$ ${\displaystyle =6-2i}$

となる．

したがって

円の中心は

${\displaystyle \frac{\left(2+2i\right)+\left(6-2i\right)}{2}=4}$

円の半径は

${\displaystyle \left|\frac{\left(2+2i\right)-\left(6-2i\right)}{2}\right|}$ ${\displaystyle =\left|2+2i\right|}$ ${\displaystyle =\sqrt{2^2+2^2}}$ ${\displaystyle =\sqrt{8}}$ ${\displaystyle =2\sqrt{2}}$

となる．

 

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最終更新日：2025年11月27日