3点から等しい点(複素平面)

■問題

$α = 2 + 5 i$ ， $β = 3 i$ ， $γ = 6 + 3 i$ とする．複素平面において，点 $α$ ，点 $β$ ，点 $γ$ の3点から等しい点に対応する複素数 $ω$ を求めよ．

$ω = 3 + 2 i$

点 $ω$ は，点 $α$ と点 $β$ を結ぶ線分の垂直二等分線と点 $β$ と点 $γ$ の垂直二等分線の交点になる．

点 $α$ と点 $β$ を結ぶ線分の垂直二等分線の方程式は

$|z - α| = |z - β|$ ･･････(1)

となる．

点 $β$ と点 $γ$ を結ぶ線分の垂直二等分線の方程式は

$|z - β| = |z - γ|$ ･･････(2)

となる．

(1)の直線の方程式の一般形を求める．

$|z - (2 + 5 i)| = |z - 3 i|$

両辺を2乗する．

${|z - (2 + 5 i)|}^{2} = {|z - 3 i|}^{2}$

$\{z - (2 + 5 i)\} \bar{\{z - (2 + 5 i)\}}$ $= (z - 3 i) \bar{(z - 3 i)}$

$(z - 2 - 5 i) \bar{(z - 2 - 5 i)}$ $= (z - 3 i) \bar{(z - 3 i)}$

$(z - 2 - 5 i) (\bar{z} - 2 + 5 i)$ $= (z - 3 i) (\bar{z} + 3 i)$

$z \bar{z} - 2 z + 5 z i - 2 \bar{z} + 4 - 10 i - 5 \bar{z} i + 10 i + 25$ $= z \bar{z} + 3 z i - 3 \bar{z} i + 9$

$(- 2 + 2 i) z + (- 2 - 2 i) \bar{z} + 20 = 0$

$(1 - i) z + (1 + i) \bar{z} - 10 = 0$ ･･････(3)

(2)の直線の方程式の一般形を求める．

$|z - 3 i| = |z - (6 + 3 i)|$

${|z - 3 i|}^{2} = {|z - (6 + 3 i)|}^{2}$

$(z - 3 i) \bar{(z - 3 i)}$ $= \{z - (6 + 3 i)\} \bar{\{z - (6 + 3 i)\}}$

$(z - 3 i) \bar{(z - 3 i)}$ $= (z - 6 - 3 i) \bar{(z - 6 - 3 i)}$

$(z - 3 i) (z + 3 i)$ $= (z - 6 - 3 i) (\bar{z} - 6 + 3 i)$

$z \bar{z} + 3 z i - 3 \bar{z} i + 9$ $= z \bar{z} - 6 z + 3 z i - 6 \bar{z} + 36 - 18 i - 3 i \bar{z} + 18 i + 9$

$6 z + 6 \bar{z} - 36 = 0$

$z + \bar{z} - 6 = 0$ ･･････(4)

(3)，(4)の連立方程式を解いて， $z$ を求める．

(3)−(4)× $(1 + i)$

$(1 - i) z - (1 + i) z - 10 + 6 (1 + i) = 0$

$- 2 z i - 4 + 6 i = 0$

$- 2 z i = 4 - 6 i$

$z = - \frac{2}{i} + 3$

$z = 3 + 2 i$

以上より

$ω = 3 + 2 i$

である．

最終更新日：2025年12月11日