複素数の計算

■問題

次の式を極形式で示せ．

${\displaystyle 1+\sqrt{3}i}$

■答

${\displaystyle z=2\left(\cos 60°+i\sin 60°\right)}$

${\displaystyle z=2\left(\cos \frac{\pi }{3}+i\sin \frac{\pi }{3}\right)}$

■解説

問題を解く前に，極形式とは何かを理解する．　⇒複素平面

複素数${\displaystyle z=a+ib}$ の絶対値${\displaystyle \left|z\right|}$ は ${\displaystyle \left|z\right|=\left|a+ib\right|=\sqrt{a^2+b^2}=r}$ であるので，与式より

${\displaystyle \left|z\right|=\left|1+\sqrt{3}i\right|=\sqrt{1^2+{\sqrt{3}}^2}=\sqrt{4}=2}$

よって，与式より2をくくりだす．

${\displaystyle 1+\sqrt{3}i}$${\displaystyle =2\left(\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i\right)}$ 　　･･････(1)

極形式${\displaystyle z=r\left(\cos \theta +i\sin \theta \right)}$と(1)を比較すると

${\displaystyle \cos \theta =\frac{1}{2}}$，${\displaystyle \sin \theta =\frac{\sqrt{3}}{2}}$

となる．よって

$\theta =60°={\displaystyle \frac{\pi }{3}}$

となり，与式は極形式で次のように表わすことができる．

${\displaystyle z=2\left(\cos 60°+i\sin 60°\right)}$

${\displaystyle z=2\left(\cos \frac{\pi }{3}+i\sin \frac{\pi }{3}\right)}$

 

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最終更新日： 2023年2月25日