問題を解くのに必要な知識を確認するにはこのグラフ図を利用してください.

複素数の計算

■問題

次の複素数の計算をせよ.

( 1+ 3 i ) 7

■答

64 1+ 3 i

■解説

1+ 3 i 7 = 1+ 3 i 2 2 1+ 3 i 3

= 1+2 3 i+3 i 2 2 1+3 3 i+33 i 2 +3 3 i 3

(3乗の公式を参照)

= 1+2 3 i3 2 1+3 3 i93 3 i

= 2+2 3 i 2 8

= 2 12 3 i 2 8

=4 8 1 3 i 2

=32 12 3 i+3 i 2

=32 12 3 i3

=32 22 3 i

=64 1+ 3 i

■別解

1+ 3 i の極形式はこの問題より

1+ 3 i = 2( cos π 3 +isin π 3 )

となる.

ド・モアブルの定理を用いると

( 1+ 3 i ) 7 = 2 cos π 3 +isin π 3 7

= 2 7 cos 7π 3 +isin 7π 3

=128 cos 2π+ π 3 +isin 2π+ π 3

=128 cos π 3 +isin π 3

=128 1 2 + 3 2 i

=64 1+ 3 i

 

 

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最終更新日: 2023年2月25日

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