表現行列に関する問題

■問題

次のような2つの線形写像 ${\displaystyle f}$ と${\displaystyle g}$がある．

• ${\displaystyle f ：R^3\to R^2}$

  ${\displaystyle \left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right)\to \left(\begin{array}{c}{x}_1+2x_2\\ x_2-x_3\end{array}\right)}$

• ${\displaystyle g：R^2\to R^2}$

  $\left(\begin{array}{c}{x_1}^{\prime }\\ {x_2}^{\prime }\end{array}\right)\to \left(\begin{array}{c}{x_1}^{\prime }-{x_2}^{\prime }\\ -2{x_2}^{\prime }\end{array}\right)$

${\displaystyle f}$ と${\displaystyle g}$ の表現行列 ${\displaystyle A}$と ${\displaystyle B}$を求めよ．

■答

${\displaystyle A=\left(\begin{array}{c}\begin{array}{ccc}1& 2& 0\end{array}\\ \begin{array}{ccc}0& 1& -1\end{array}\end{array}\right)}$ ， ${\displaystyle B=\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ 0& -2\end{array}\right)}$

■計算

${\displaystyle f ：}$${\displaystyle \left(\begin{array}{c}{x}_1+2x_2\\ x_2-x_3\end{array}\right)}$${\displaystyle =\left(\begin{array}{c}\begin{array}{ccc}1& 2& 0\end{array}\\ \begin{array}{ccc}0& 1& -1\end{array}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right)}$　･･････(1)

よって，${\displaystyle f}$の表現行列${\displaystyle A}$は

${\displaystyle A=\left(\begin{array}{c}\begin{array}{ccc}1& 2& 0\end{array}\\ \begin{array}{ccc}0& 1& -1\end{array}\end{array}\right)}$

となる．

${\displaystyle g ：}$ $\left(\begin{array}{c}{x_1}^{\prime }-{x_2}^{\prime }\\ -2{x_2}^{\prime }\end{array}\right)$ $=\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ 0& -2\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{x_1}^{\prime }\\ {x_2}^{\prime }\end{array}\right)$　･･････(2)

よって，${\displaystyle g}$の表現行列${\displaystyle B}$は

${\displaystyle B=\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ 0& -2\end{array}\right)}$

となる．

　

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最終更新日： 2023年2月10日