基本的な行列の問題

■問題

次の行列式の値をまず第2列で展開(余因子展開)してから求めよ．

$| \begin{matrix} 2 & 5 & 11 & 3 \\ 3 & 8 & 6 & 2 \\ 4 & 12 & 8 & 7 \\ 7 & 9 & 2 & 5 \end{matrix} |$

■答

1021

■計算

$| \begin{matrix} 2 & 5 & 11 & 3 \\ 3 & 8 & 6 & 2 \\ 4 & 12 & 8 & 7 \\ 7 & 9 & 2 & 5 \end{matrix} |$

$= 5 \times {(- 1)}^{1 + 2} | \begin{matrix} 3 & 6 & 2 \\ 4 & 8 & 7 \\ 7 & 2 & 5 \end{matrix} |$ $+ 8 \times {(- 1)}^{2 + 2} | \begin{matrix} 2 & 11 & 3 \\ 4 & 8 & 7 \\ 7 & 2 & 5 \end{matrix} |$ $+ 12 \times {(- 1)}^{3 + 2} | \begin{matrix} 2 & 11 & 3 \\ 3 & 6 & 2 \\ 7 & 2 & 5 \end{matrix} |$ $+ 9 \times {(- 1)}^{4 + 2} | \begin{matrix} 2 & 11 & 3 \\ 3 & 6 & 2 \\ 4 & 8 & 7 \end{matrix} |$ ･･･（1）

展開された式を，それぞれの項に分けて計算をする．

$5 \times {(- 1)}^{1 + 2} | \begin{matrix} 3 & 6 & 2 \\ 4 & 8 & 7 \\ 7 & 2 & 5 \end{matrix} |$

この計算においても行列式の値は第2列で展開(余因子展開)して求めることにする．

$= - 5 \{6 {(- 1)}^{1 + 2} | \begin{matrix} 4 & 7 \\ 7 & 5 \end{matrix} | + 8 {(- 1)}^{2 + 2} | \begin{matrix} 3 & 2 \\ 7 & 5 \end{matrix} | + 2 {(- 1)}^{3 + 2} | \begin{matrix} 3 & 2 \\ 4 & 7 \end{matrix} |\}$

$= - 5 {- 6 (20 - 49) + 8 (15 - 14) - 2 (21 - 8)}$

$= - 5 (- 6 \times 29 + 8 - 2 \times 13)$

$= - 780$ ･･･（2）

$8 \times {(- 1)}^{2 + 2} | \begin{matrix} 2 & 11 & 3 \\ 4 & 8 & 7 \\ 7 & 2 & 5 \end{matrix} |$

行列式の値は第2列で展開(余因子展開)して求めることにする．

$= 8 \{11 {(- 1)}^{1 + 2} | \begin{matrix} 4 & 7 \\ 7 & 5 \end{matrix} | + 8 {(- 1)}^{2 + 2} | \begin{matrix} 2 & 3 \\ 7 & 5 \end{matrix} | + 2 {(- 1)}^{3 + 2} | \begin{matrix} 2 & 3 \\ 4 & 7 \end{matrix} |\}$

$= 8 {- 11 (20 - 49) + 8 (10 - 21) - 2 (14 - 12)}$

$= 8 {- 11 \times (- 29) + 8 \times (- 11) - 2 \times 2}$

$= 8 \times 227$

$= 1816$ ･･･（3）

$- 12 \times {(- 1)}^{3 + 2} | \begin{matrix} 2 & 11 & 3 \\ 3 & 6 & 2 \\ 7 & 2 & 5 \end{matrix} |$

行列式の値は第2列で展開(余因子展開)して求めることにする．

$= - 12 \{11 {(- 1)}^{1 + 2} | \begin{matrix} 3 & 2 \\ 7 & 5 \end{matrix} | + 6 {(- 1)}^{2 + 2} | \begin{matrix} 2 & 3 \\ 7 & 5 \end{matrix} | + 2 {(- 1)}^{3 + 2} | \begin{matrix} 2 & 3 \\ 3 & 2 \end{matrix} |\}$

$= - 12 {- 11 (15 - 14) + 8 (10 - 21) - 2 (4 - 9)}$

$= - 12 {- 11 + 8 \times (- 11) - 2 \times (- 5)}$

$= - 12 \times (- 67)$

$= 804$ ･･･（4）

$9 \times {(- 1)}^{4 + 2} | \begin{matrix} 2 & 11 & 3 \\ 3 & 6 & 2 \\ 4 & 8 & 7 \end{matrix} |$

行列式の値は第2列で展開(余因子展開)して求めることにする．

$= 9 \{11 {(- 1)}^{1 + 2} | \begin{matrix} 3 & 2 \\ 4 & 7 \end{matrix} | + 6 {(- 1)}^{2 + 2} | \begin{matrix} 2 & 3 \\ 4 & 7 \end{matrix} | + 8 {(- 1)}^{3 + 2} | \begin{matrix} 2 & 3 \\ 3 & 2 \end{matrix} |\}$

$= 9 {- 11 (21 - 8) + 6 (14 - 12) - 8 (4 - 9)}$

$= 9 {- 11 \times 13 + 6 \times 2 - 8 \times (- 5)}$

$= 9 \times (- 91)$

$= - 819$ 　･･･（5）

（1）に（2）～（5）をそれぞれ代入する．

$5 {(- 1)}^{1 + 2} | \begin{matrix} 3 & 6 & 2 \\ 4 & 8 & 7 \\ 7 & 2 & 5 \end{matrix} |$ $+ 8 \times {(- 1)}^{2 + 2} | \begin{matrix} 2 & 11 & 3 \\ 4 & 8 & 7 \\ 7 & 2 & 5 \end{matrix} |$ $+ 12 \times {(- 1)}^{3 + 2} | \begin{matrix} 2 & 11 & 3 \\ 3 & 6 & 2 \\ 7 & 2 & 5 \end{matrix} |$ $+ 9 \times {(- 1)}^{4 + 2} | \begin{matrix} 2 & 11 & 3 \\ 3 & 6 & 2 \\ 4 & 8 & 7 \end{matrix} |$

$= - 780 + 1816 + 804 + 819$

$= 1021$

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作成：学生スタッフ

最終更新日： 2022年6月14日