基本的な行列の問題

■問題

掃き出し法を用いて，次の連立方程式を解け．

$\{\begin{matrix} a - b - 2 c + 2d = 4 \\ 2 a + b - 3 c - d = - 3 \\ - a + 2 b + 2 c - 2 d = - 6 \\ 3 a - 3 b + c + d = 7 \end{matrix}$

■答

$a = 0$ ， $b = - 2$ ， $c = 0$ ， $d = 1$

■計算

$(\begin{matrix} 1 & - 1 & - 2 & 2 \\ 2 & 1 & - 3 & - 1 \\ - 1 & 2 & 2 & - 2 \\ 3 & - 3 & 1 & 1 \end{matrix} |\begin{matrix} 4 \\ - 3 \\ - 6 \\ 7 \end{matrix})$

行基本変形を用いて2行-1行×2，3行+1行，4行-1行×3の計算をする．

$\to (\begin{matrix} 1 & - 1 & - 2 & 2 \\ 0 & 3 & 1 & - 5 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 7 & - 5 \end{matrix} |\begin{matrix} 4 \\ - 11 \\ - 2 \\ - 5 \end{matrix})$

行基本変形を用いて１行+3行，2行-3行×2の計算をする．

$\to (\begin{matrix} 1 & 0 & - 2 & 2 \\ 0 & 1 & 1 & - 5 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 7 & - 5 \end{matrix} |\begin{matrix} 2 \\ - 7 \\ - 2 \\ - 5 \end{matrix})$

行基本変形を用いて3行-2行の計算をする．

$\to (\begin{matrix} 1 & 0 & - 2 & 2 \\ 0 & 1 & 1 & - 5 \\ 0 & 0 & - 1 & 5 \\ 0 & 0 & 7 & - 5 \end{matrix} |\begin{matrix} 2 \\ - 7 \\ 5 \\ - 5 \end{matrix})$

3行目の成分を-1で割ることで3行3列目の数字を1にする．

$\to (\begin{matrix} 1 & 0 & - 2 & 2 \\ 0 & 1 & 1 & - 5 \\ 0 & 0 & 1 & - 5 \\ 0 & 0 & 7 & - 5 \end{matrix} |\begin{matrix} 2 \\ - 7 \\ - 5 \\ - 5 \end{matrix})$

行基本変形を用いて1行+3行×2，2行-3行，4行-3行×7の計算をする．

$\to (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & - 8 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & - 5 \\ 0 & 0 & 0 & 30 \end{matrix} |\begin{matrix} - 8 \\ - 2 \\ - 5 \\ 30 \end{matrix})$

4行目の成分がともに30なので30で割り，4行4列目の数字を1にする．

$\to (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & - 8 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & - 5 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} |\begin{matrix} - 8 \\ - 2 \\ - 5 \\ 1 \end{matrix})$

行基本変形を用いて1行+4行×8，3行+4行×5の計算をする．

$\to (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} |\begin{matrix} 0 \\ - 2 \\ 0 \\ 1 \end{matrix})$

よって，答えは

$a = 0$ ， $b = - 2$ ， $c = 0$ ， $d = 1$

となる．

■問題へ戻る

ホーム>>カテゴリー分類>>行列>>線形代数>>線形代数に関する問題>>行列の計算>>問題

作成：学生スタッフ

最終更新日： 2022年8月27日