基本的な行列の問題

■問題

次の行列式の値をまず第2列で展開(余因子展開)してから求めよ．

$|\begin{matrix} 3 & 2 & 8 & - 1 \\ 4 & - 5 & - 2 & 3 \\ 1 & 3 & 2 & 4 \\ - 5 & 7 & 5 & 1 \end{matrix}|$ $|\begin{matrix} 3 & 2 & 8 & - 1 \\ 4 & - 5 & - 2 & 3 \\ 1 & 3 & 2 & 4 \\ - 5 & 7 & 5 & 1 \end{matrix}|$

■答

$702$ $702$

■計算

$= 2 \times {(- 1)}^{1 + 2} |\begin{matrix} 4 & - 2 & 3 \\ 1 & 2 & 4 \\ - 5 & 5 & 1 \end{matrix}|$ $= 2 \times {(- 1)}^{1 + 2} |\begin{matrix} 4 & - 2 & 3 \\ 1 & 2 & 4 \\ - 5 & 5 & 1 \end{matrix}|$ $- 5 \times {(- 1)}^{2 + 2} |\begin{matrix} 3 & 8 & - 1 \\ 1 & 2 & 4 \\ - 5 & 5 & 1 \end{matrix}|$ $- 5 \times {(- 1)}^{2 + 2} |\begin{matrix} 3 & 8 & - 1 \\ 1 & 2 & 4 \\ - 5 & 5 & 1 \end{matrix}|$ $+ 3 \times {(- 1)}^{3 + 2} |\begin{matrix} 3 & 8 & - 1 \\ 4 & - 2 & 3 \\ - 5 & 5 & 1 \end{matrix}|$ $+ 3 \times {(- 1)}^{3 + 2} |\begin{matrix} 3 & 8 & - 1 \\ 4 & - 2 & 3 \\ - 5 & 5 & 1 \end{matrix}|$ $+ 7 \times {(- 1)}^{4 + 2} |\begin{matrix} 3 & 8 & - 1 \\ 4 & - 2 & 3 \\ 1 & 2 & 4 \end{matrix}|$ $+ 7 \times {(- 1)}^{4 + 2} |\begin{matrix} 3 & 8 & - 1 \\ 4 & - 2 & 3 \\ 1 & 2 & 4 \end{matrix}|$ 　･･･（1）

展開された式を，それぞれの項に分けて計算をする．

$2 \times {(- 1)}^{1 + 2} |\begin{matrix} 4 & - 2 & 3 \\ 1 & 2 & 4 \\ - 5 & 5 & 1 \end{matrix}|$ $2 \times {(- 1)}^{1 + 2} |\begin{matrix} 4 & - 2 & 3 \\ 1 & 2 & 4 \\ - 5 & 5 & 1 \end{matrix}|$

この計算においても行列式の値は第2列で展開(余因子展開)して求めることにする．

$= - 2 \{- 2 \times {(- 1)}^{1 + 2} |\begin{matrix} 1 & 4 \\ - 5 & 1 \end{matrix}| + 2 \times {(- 1)}^{2 + 2} |\begin{matrix} 4 & 3 \\ - 5 & 1 \end{matrix}| + 5 \times {(- 1)}^{3 + 2} |\begin{matrix} 4 & 3 \\ 1 & 4 \end{matrix}|\}$ $= - 2 \{- 2 \times {(- 1)}^{1 + 2} |\begin{matrix} 1 & 4 \\ - 5 & 1 \end{matrix}| + 2 \times {(- 1)}^{2 + 2} |\begin{matrix} 4 & 3 \\ - 5 & 1 \end{matrix}| + 5 \times {(- 1)}^{3 + 2} |\begin{matrix} 4 & 3 \\ 1 & 4 \end{matrix}|\}$

$= - 2 \{2 (1 + 20) + 2 (4 + 15) - 5 (16 - 3)\}$ $= - 2 \{2 (1 + 20) + 2 (4 + 15) - 5 (16 - 3)\}$

$= - 2 (42 + 38 - 65)$ $= - 2 (42 + 38 - 65)$

$= - 30$ $= - 30$ 　･･･（2）

$- 5 \times {(- 1)}^{2 + 2} |\begin{matrix} 3 & 8 & - 1 \\ 1 & 2 & 4 \\ - 5 & 5 & 1 \end{matrix}|$ $- 5 \times {(- 1)}^{2 + 2} |\begin{matrix} 3 & 8 & - 1 \\ 1 & 2 & 4 \\ - 5 & 5 & 1 \end{matrix}|$

行列式の値は第2列で展開(余因子展開)して求めることにする．

$= - 5 \{8 {\times (- 1)}^{1 + 2} |\begin{matrix} 1 & 4 \\ - 5 & 1 \end{matrix}| + 2 \times {(- 1)}^{2 + 2} |\begin{matrix} 3 & - 1 \\ - 5 & 1 \end{matrix}| + 5 \times {(- 1)}^{3 + 2} |\begin{matrix} 3 & - 1 \\ 1 & 4 \end{matrix}|\}$ $= - 5 \{8 {\times (- 1)}^{1 + 2} |\begin{matrix} 1 & 4 \\ - 5 & 1 \end{matrix}| + 2 \times {(- 1)}^{2 + 2} |\begin{matrix} 3 & - 1 \\ - 5 & 1 \end{matrix}| + 5 \times {(- 1)}^{3 + 2} |\begin{matrix} 3 & - 1 \\ 1 & 4 \end{matrix}|\}$

$= - 5 \{- 8 (1 + 20) + 2 (3 - 5) - 5 (12 + 1)\}$ $= - 5 \{- 8 (1 + 20) + 2 (3 - 5) - 5 (12 + 1)\}$

$= - 5 (- 168 - 4 - 65)$ $= - 5 (- 168 - 4 - 65)$

$= 1185$ $= 1185$ 　･･･（3）

$3 \times {(- 1)}^{3 + 2} |\begin{matrix} 3 & 8 & - 1 \\ 4 & - 2 & 3 \\ - 5 & 5 & 1 \end{matrix}|$ $3 \times {(- 1)}^{3 + 2} |\begin{matrix} 3 & 8 & - 1 \\ 4 & - 2 & 3 \\ - 5 & 5 & 1 \end{matrix}|$

行列式の値は第2列で展開(余因子展開)して求めることにする．

$= - 3 \{8 {\times (- 1)}^{1 + 2} |\begin{matrix} 4 & 3 \\ - 5 & 1 \end{matrix}| - 2 \times {(- 1)}^{2 + 2} |\begin{matrix} 3 & - 1 \\ - 5 & 1 \end{matrix}| + 5 \times {(- 1)}^{3 + 2} |\begin{matrix} 3 & - 1 \\ 4 & 3 \end{matrix}|\}$ $= - 3 \{8 {\times (- 1)}^{1 + 2} |\begin{matrix} 4 & 3 \\ - 5 & 1 \end{matrix}| - 2 \times {(- 1)}^{2 + 2} |\begin{matrix} 3 & - 1 \\ - 5 & 1 \end{matrix}| + 5 \times {(- 1)}^{3 + 2} |\begin{matrix} 3 & - 1 \\ 4 & 3 \end{matrix}|\}$

$= - 3 \{- 8 (4 + 15) - 2 (3 - 5) - 5 (9 + 4)\}$ $= - 3 \{- 8 (4 + 15) - 2 (3 - 5) - 5 (9 + 4)\}$

$= - 3 (- 152 + 4 - 65)$ $= - 3 (- 152 + 4 - 65)$

$= 639$ $= 639$ 　･･･（4）

$7 \times {(- 1)}^{4 + 2} |\begin{matrix} 3 & 8 & - 1 \\ 4 & - 2 & 3 \\ 1 & 2 & 4 \end{matrix}|$ $7 \times {(- 1)}^{4 + 2} |\begin{matrix} 3 & 8 & - 1 \\ 4 & - 2 & 3 \\ 1 & 2 & 4 \end{matrix}|$

行列式の値は第2列で展開(余因子展開)して求めることにする．

$= 7 \{8 {\times (- 1)}^{1 + 2} |\begin{matrix} 4 & 3 \\ 1 & 4 \end{matrix}| - 2 \times {(- 1)}^{2 + 2} |\begin{matrix} 3 & - 1 \\ 1 & 4 \end{matrix}| + 2 \times {(- 1)}^{3 + 2} |\begin{matrix} 3 & - 1 \\ 4 & 3 \end{matrix}|\}$ $= 7 \{8 {\times (- 1)}^{1 + 2} |\begin{matrix} 4 & 3 \\ 1 & 4 \end{matrix}| - 2 \times {(- 1)}^{2 + 2} |\begin{matrix} 3 & - 1 \\ 1 & 4 \end{matrix}| + 2 \times {(- 1)}^{3 + 2} |\begin{matrix} 3 & - 1 \\ 4 & 3 \end{matrix}|\}$

$= 7 \{- 8 (16 - 3) - 2 (12 + 1) - 2 (9 + 4)\}$ $= 7 \{- 8 (16 - 3) - 2 (12 + 1) - 2 (9 + 4)\}$

$= 7 (- 104 - 26 - 26)$ $= 7 (- 104 - 26 - 26)$

$= - 1092$ $= - 1092$ 　･･･（5）

（1）に（2）～（5）をそれぞれ代入する．

$2 \times {(- 1)}^{1 + 2} |\begin{matrix} 4 & - 2 & 3 \\ 1 & 2 & 4 \\ - 5 & 5 & 1 \end{matrix}|$ $2 \times {(- 1)}^{1 + 2} |\begin{matrix} 4 & - 2 & 3 \\ 1 & 2 & 4 \\ - 5 & 5 & 1 \end{matrix}|$ $- 5 \times {(- 1)}^{2 + 2} |\begin{matrix} 3 & 8 & - 1 \\ 1 & 2 & 4 \\ - 5 & 5 & 1 \end{matrix}|$ $- 5 \times {(- 1)}^{2 + 2} |\begin{matrix} 3 & 8 & - 1 \\ 1 & 2 & 4 \\ - 5 & 5 & 1 \end{matrix}|$ $+ 3 \times {(- 1)}^{3 + 2} |\begin{matrix} 3 & 8 & - 1 \\ 4 & - 2 & 3 \\ - 5 & 5 & 1 \end{matrix}|$ $+ 3 \times {(- 1)}^{3 + 2} |\begin{matrix} 3 & 8 & - 1 \\ 4 & - 2 & 3 \\ - 5 & 5 & 1 \end{matrix}|$ $+ 7 \times {(- 1)}^{4 + 2} |\begin{matrix} 3 & 8 & - 1 \\ 4 & - 2 & 3 \\ 1 & 2 & 4 \end{matrix}|$ $+ 7 \times {(- 1)}^{4 + 2} |\begin{matrix} 3 & 8 & - 1 \\ 4 & - 2 & 3 \\ 1 & 2 & 4 \end{matrix}|$

$= - 30 + 1185 + 639 - 1092$ $= - 30 + 1185 + 639 - 1092$

$= 702$ $= 702$

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作成：学生スタッフ

最終更新日： 2023年10月10日

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