問題を解くのに必要な知識を確認するにはこのグラフ図を利用してください．

基本的な行列の問題

■問題

以下の連立方程式が${\displaystyle x=y=0}$ 以外の解をもつように，定数${\displaystyle k}$ の値を求めよ．

${\displaystyle \left\{\begin{array}{c}-x+(2-3k)y=0\\ x-2ky=0\end{array}\right.}$

■答

${\displaystyle k=\frac{2}{5}}$

■解説

${\displaystyle {\displaystyle A=\left(\begin{array}{cc}-1& 2-3k\\ 1& -2k\end{array}\right)}}$ ， ${\displaystyle X=\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)}$ ， ${\displaystyle 0=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\end{array}\right)}$ とおくと，連立方程式は

${\displaystyle AX=0}$　･･････(1)

と表される．

${\displaystyle A}$ の逆行列 ${\displaystyle A^{-1}}$ が存在するとすると仮定した場合

(1)の両辺に${\displaystyle A^{-1}}$を左からかけると

${\displaystyle A^{-1}\left(AX\right)=A^{-1}0}$

となり

${\displaystyle X=0}$，すなわち，${\displaystyle x=y=0}$

が連立方程式の解となってしまう．

したがって，${\displaystyle x=y=0}$ 以外の解をもつときは，${\displaystyle A}$ は逆行列をもたない．

言い換えると，${\displaystyle \left|A\right|=0}$ の場合である．

したがって

${\displaystyle \left|A\right|}$${\displaystyle =-1\times \left(-2k\right)-(2-3k)}$${\displaystyle =2\mathrm{k}-2+3k}$${\displaystyle =5\mathrm{k}-2}$${\displaystyle =0}$

${\displaystyle k=\frac{2}{5}}$

となる．このとき方程式は

${\displaystyle \left\{\begin{array}{c}-x+\frac{4}{5}y=0\\ x-\frac{4}{5}y=0\end{array}\right.}$

つまり

${\displaystyle x-\frac{4}{5}y=0}$　･･････(2)

となる．

${\displaystyle y=5c}$ 　(${\displaystyle c}$ は任意定数)とおくと

${\displaystyle \left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}4c\\ 5c\end{array}\right)=c\left(\begin{array}{c}4\\ 5\end{array}\right)}$

となり，${\displaystyle \left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\end{array}\right)}$ 以外の解は無数に存在する．

以上より，${\displaystyle k=\frac{2}{5}}$は条件を満たしている．　

　

ホーム>>カテゴリー分類>>行列>>線形代数>>線形代数に関する問題>>行列式に関する問題>>問題

作成：学生スタッフ

最終更新日： 2022年9月7日

[ページトップ]

利用規約

google translate (English version)