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基本的な行列の問題

■問題

${\displaystyle A=\left(\begin{array}{cc}-2& 1\\ 1& 2\end{array}\right)}$ ， ${\displaystyle B=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ -6& 9\end{array}\right)}$ のとき，次の行列を求めよ．

[i]等式${\displaystyle A-2X=\frac{1}{3}\left\{4A-3\left(B+3X\right)\right\}}$ を満たす行列${\displaystyle X}$

[ii]2つの等式${\displaystyle P+Q=A}$ ，${\displaystyle P-Q=B}$ を同時に満たす2次の正方行列${\displaystyle P}$ ，${\displaystyle Q}$

■解答

[i]等式${\displaystyle A-2X=\frac{1}{3}\left\{4A-3\left(B+3X\right)\right\}}$ を満たす行列${\displaystyle X}$

${\displaystyle A-2X}$${\displaystyle =\frac{1}{3}\left\{4A-3\left(B+3X\right)\right\}}$

${\displaystyle 3A-6X}$${\displaystyle =4A-3\left(B+3X\right)}$

${\displaystyle 3A-6X}$${\displaystyle =4A-3B-9X}$

${\displaystyle 3X}$${\displaystyle =A-3B}$

${\displaystyle X}$${\displaystyle =\frac{1}{3}\left(A-3B\right)}$

${\displaystyle =\frac{1}{3}\left\{\left(\begin{array}{cc}-2& 1\\ 1& 2\end{array}\right)-3\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ -6& 9\end{array}\right)\right\}}$

${\displaystyle =\frac{1}{3}\left\{\left(\begin{array}{cc}-2& 1\\ 1& 2\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc}-3& -6\\ 18& -27\end{array}\right)\right\}}$

${\displaystyle =\frac{1}{3}\left(\begin{array}{cc}-5& -5\\ 19& -25\end{array}\right)}$

${\displaystyle =\left(\begin{array}{cc}-\frac{5}{3}& -\frac{5}{3}\\ \frac{19}{3}& -\frac{25}{3}\end{array}\right)}$

[ii]2つの等式${\displaystyle P+Q=A}$ ，${\displaystyle P-Q=B}$ を同時に満たす2次の正方行列${\displaystyle P}$ ，${\displaystyle Q}$

${\displaystyle P+Q=A}$　･･････(1)

${\displaystyle P-Q=B}$　･･････(2)

(1)+(2)，(1)-(2)の計算をすると

${\displaystyle 2P=A+B}$ ，${\displaystyle 2Q=A-B}$

${\displaystyle P}$${\displaystyle =\frac{1}{2}\left(A+B\right)}$

${\displaystyle =\frac{1}{2}\left\{\left(\begin{array}{cc}-2& 1\\ 1& 2\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ -6& 9\end{array}\right)\right\}}$

${\displaystyle =\frac{1}{2}\left(\begin{array}{cc}-1& 3\\ -5& 11\end{array}\right)}$

${\displaystyle =\left(\begin{array}{cc}-\frac{1}{2}& \frac{3}{2}\\ -\frac{5}{2}& \frac{11}{2}\end{array}\right)}$

${\displaystyle Q}$${\displaystyle =\frac{1}{2}\left(A-B\right)}$

${\displaystyle =\frac{1}{2}\left\{\left(\begin{array}{cc}-2& 1\\ 1& 2\end{array}\right)-\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ -6& 9\end{array}\right)\right\}}$

${\displaystyle =\frac{1}{2}\left(\begin{array}{cc}-3& -1\\ 7& -7\end{array}\right)}$

${\displaystyle =\left(\begin{array}{cc}-\frac{3}{2}& -\frac{1}{2}\\ \frac{7}{2}& -\frac{7}{2}\end{array}\right)}$

 

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作成：学生スタッフ

最終更新日： 2022年6月17日

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