基本的な行列の問題

■問題

次のベクトルの組は1次独立か，1次従属かを調べよ．

$(\begin{matrix} 1 \\ 3 \end{matrix})$ ， $(\begin{matrix} - 3 \\ 9 \end{matrix}) \in R^{2}$

$c_{1} (\begin{matrix} 1 \\ 3 \end{matrix}) + c_{2} (\begin{matrix} - 3 \\ 9 \end{matrix}) = 0$ 　･･････(1)

とおくと．

$\{\begin{matrix} c_{1} - 3 c_{2} = 0 \\ 3 c_{1} + 9 c_{2} = 0 \end{matrix}$

となる連立方程式が得られる．これを行列で表すと

$(\begin{matrix} 1 & - 3 \\ 3 & 9 \end{matrix}) (\begin{matrix} c_{1} \\ c_{2} \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix})$

となる．

$|\begin{matrix} 1 & - 3 \\ 3 & 9 \end{matrix}| = 18 \neq 0$

であるからクラメルの公式を用いて， $c_{1}$ ， $c_{2}$ を求める．

$c_{1} = \frac{1}{18} |\begin{matrix} 0 & - 3 \\ 0 & 9 \end{matrix}| = 0$ ， $c_{2} = \frac{1}{18} |\begin{matrix} 1 & 0 \\ 3 & 0 \end{matrix}| = 0$

となる．

よって，(1)が成り立つためには

$c_{1} = c_{2} = 0$

となる．したがって，1次独立である．

作成：学生スタッフ

最終更新日： 2023年10月11日