# 基本的な行列の問題

## ■問題

$|\begin{array}{cccc}2& 5& 11& 3\\ 3& 8& 6& 2\\ 4& 12& 8& 7\\ 7& 9& 2& 5\end{array}|$

1021

## ■計算

$|\begin{array}{cccc}2& 5& 11& 3\\ 3& 8& 6& 2\\ 4& 12& 8& 7\\ 7& 9& 2& 5\end{array}|$

$=5×{\left(-1\right)}^{1+2}|\begin{array}{ccc}3& 6& 2\\ 4& 8& 7\\ 7& 2& 5\end{array}|$$+8×{\left(-1\right)}^{2+2}|\begin{array}{ccc}2& 11& 3\\ 4& 8& 7\\ 7& 2& 5\end{array}|$$+12×{\left(-1\right)}^{3+2}|\begin{array}{ccc}2& 11& 3\\ 3& 6& 2\\ 7& 2& 5\end{array}|$$+9×{\left(-1\right)}^{4+2}|\begin{array}{ccc}2& 11& 3\\ 3& 6& 2\\ 4& 8& 7\end{array}|$ ･･･（1）

$5×{\left(-1\right)}^{1+2}|\begin{array}{ccc}3& 6& 2\\ 4& 8& 7\\ 7& 2& 5\end{array}|$

この計算においても行列式の値は第2列で展開(余因子展開)して求めることにする．

$=-5\left\{6{\left(-1\right)}^{1+2}|\begin{array}{cc}4& 7\\ 7& 5\end{array}|+8{\left(-1\right)}^{2+2}|\begin{array}{cc}3& 2\\ 7& 5\end{array}|+2{\left(-1\right)}^{3+2}|\begin{array}{cc}3& 2\\ 4& 7\end{array}|\right\}$

$=-5\left\{-6\left(20-49\right)+8\left(15-14\right)-2\left(21-8\right)\right\}$

$=-5\left(-6×29+8-2×13\right)$

$=-780$･･･（2）

$8×{\left(-1\right)}^{2+2}|\begin{array}{ccc}2& 11& 3\\ 4& 8& 7\\ 7& 2& 5\end{array}|$

$=8\left\{11{\left(-1\right)}^{1+2}|\begin{array}{cc}4& 7\\ 7& 5\end{array}|+8{\left(-1\right)}^{2+2}|\begin{array}{cc}2& 3\\ 7& 5\end{array}|+2{\left(-1\right)}^{3+2}|\begin{array}{cc}2& 3\\ 4& 7\end{array}|\right\}$

$=8\left\{-11\left(20-49\right)+8\left(10-21\right)-2\left(14-12\right)\right\}$

$=8\left\{-11×\left(-29\right)+8×\left(-11\right)-2×2\right\}$

$=8×227$

$=1816$･･･（3）

$-12×{\left(-1\right)}^{3+2}|\begin{array}{ccc}2& 11& 3\\ 3& 6& 2\\ 7& 2& 5\end{array}|$

$=-12\left\{11{\left(-1\right)}^{1+2}|\begin{array}{cc}3& 2\\ 7& 5\end{array}|+6{\left(-1\right)}^{2+2}|\begin{array}{cc}2& 3\\ 7& 5\end{array}|+2{\left(-1\right)}^{3+2}|\begin{array}{cc}2& 3\\ 3& 2\end{array}|\right\}$

$=-12\left\{-11\left(15-14\right)+8\left(10-21\right)-2\left(4-9\right)\right\}$

$=-12\left\{-11+8×\left(-11\right)-2×\left(-5\right)\right\}$

$=-12×\left(-67\right)$

$=804$･･･（4）

$9×{\left(-1\right)}^{4+2}|\begin{array}{ccc}2& 11& 3\\ 3& 6& 2\\ 4& 8& 7\end{array}|$

$=9\left\{11{\left(-1\right)}^{1+2}|\begin{array}{cc}3& 2\\ 4& 7\end{array}|+6{\left(-1\right)}^{2+2}|\begin{array}{cc}2& 3\\ 4& 7\end{array}|+8{\left(-1\right)}^{3+2}|\begin{array}{cc}2& 3\\ 3& 2\end{array}|\right\}$

$=9\left\{-11\left(21-8\right)+6\left(14-12\right)-8\left(4-9\right)\right\}$

$=9\left\{-11×13+6×2-8×\left(-5\right)\right\}$

$=9×\left(-91\right)$

$=-819$　･･･（5）

（1）に（2）〜（5）をそれぞれ代入する．

$5{\left(-1\right)}^{1+2}|\begin{array}{ccc}3& 6& 2\\ 4& 8& 7\\ 7& 2& 5\end{array}|$$+8×{\left(-1\right)}^{2+2}|\begin{array}{ccc}2& 11& 3\\ 4& 8& 7\\ 7& 2& 5\end{array}|$$+12×{\left(-1\right)}^{3+2}|\begin{array}{ccc}2& 11& 3\\ 3& 6& 2\\ 7& 2& 5\end{array}|$$+9×{\left(-1\right)}^{4+2}|\begin{array}{ccc}2& 11& 3\\ 3& 6& 2\\ 4& 8& 7\end{array}|$

$=-780+1816+804+819$

$=1021$

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