基本的な行列の問題

■問題

掃き出し法を用いて，次の連立方程式を解け．

$\{\begin{matrix} a + b - 2 c - 2 d = - 5 \\ 2 a - 2 b + c - d = 8 \\ - a + b - c + 2 d = - 5 \\ - 2 a - b + c - 3 d = 2 \end{matrix}$

■答

$a = 1$ ， $b = - 2$ ， $c = 2$ ， $d = 0$

■計算

$(\begin{matrix} 1 & 1 & - 2 & - 2 \\ 2 & - 2 & 1 & - 1 \\ - 1 & 1 & - 1 & 2 \\ - 2 & - 1 & 1 & - 3 \end{matrix} |\begin{matrix} - 5 \\ 8 \\ - 5 \\ 2 \end{matrix})$

行基本変形を用いて2行-1行×2，3行+1行，4行+1行×2の計算をする．

$\to (\begin{matrix} 1 & 1 & - 2 & - 2 \\ 0 & - 4 & 5 & 3 \\ 0 & 2 & - 3 & 0 \\ 0 & 1 & - 3 & - 7 \end{matrix} |\begin{matrix} - 5 \\ 18 \\ - 10 \\ - 8 \end{matrix})$

2行2列目の成分を1にするために，行基本変形を用いて2行目と4行目を入れ替える．

$\to (\begin{matrix} 1 & 1 & - 2 & - 2 \\ 0 & 1 & - 3 & - 7 \\ 0 & 2 & - 3 & 0 \\ 0 & - 4 & 5 & 3 \end{matrix} |\begin{matrix} - 5 \\ - 8 \\ - 10 \\ 18 \end{matrix})$

行基本変形を用いて1行-2行，3行-2行×2，4行+2行×4の計算をする．

$\to (\begin{matrix} 1 & 0 & 1 & 5 \\ 0 & 1 & - 3 & - 7 \\ 0 & 0 & 3 & 14 \\ 0 & 0 & - 7 & - 25 \end{matrix} |\begin{matrix} 3 \\ - 8 \\ 6 \\ - 14 \end{matrix})$

行基本変形を用いて4行+3行×2の計算をする．

$\to (\begin{matrix} 1 & 0 & 1 & 5 \\ 0 & 1 & - 3 & - 7 \\ 0 & 0 & 3 & 14 \\ 0 & 0 & - 1 & 3 \end{matrix} |\begin{matrix} 3 \\ - 8 \\ 6 \\ - 2 \end{matrix})$

4行目に-1を掛ける．

$\to (\begin{matrix} 1 & 0 & 1 & 5 \\ 0 & 1 & - 3 & - 7 \\ 0 & 0 & 3 & 14 \\ 0 & 0 & 1 & - 3 \end{matrix} |\begin{matrix} 3 \\ - 8 \\ 6 \\ 2 \end{matrix})$

3行3列目の成分を1にするために，行基本変形を用いて3行目と4行目を入れ替える．

$\to (\begin{matrix} 1 & 0 & 1 & 5 \\ 0 & 1 & - 3 & - 7 \\ 0 & 0 & 1 & - 3 \\ 0 & 0 & 3 & 14 \end{matrix} |\begin{matrix} 3 \\ - 8 \\ 2 \\ 6 \end{matrix})$

行基本変形を用いて1行-3行，2行+3行×3，4行-3行×3の計算をする．

$\to (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 8 \\ 0 & 1 & 0 & - 16 \\ 0 & 0 & 1 & - 3 \\ 0 & 0 & 0 & 23 \end{matrix} |\begin{matrix} 1 \\ - 2 \\ 2 \\ 0 \end{matrix})$

4行4列目を1にするために23で割る．

$\to (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 8 \\ 0 & 1 & 0 & - 16 \\ 0 & 0 & 1 & - 3 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} |\begin{matrix} 1 \\ - 2 \\ 2 \\ 0 \end{matrix})$

行基本変形を用いて1行-4行×8，2行+4行×16，3行+4行×3の計算をする．

$\to (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} |\begin{matrix} 1 \\ - 2 \\ 2 \\ 0 \end{matrix})$

よって，答えは

$a = 1$ ， $b = - 2$ ， $c = 2$ ， $d = 0$

となる．

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作成：学生スタッフ

最終更新日： 2022年8月27日