基本的な行列の問題

■問題

以下の連立方程式が${\displaystyle x=y=0}$ 以外の解をもつように，定数${\displaystyle k}$ の値を求めよ．

${\displaystyle \left\{\begin{array}{c}-x+(2-3k)y=0\\ x-2ky=0\end{array}\right.}$

■答

${\displaystyle k=\frac{2}{5}}$

■解説

${\displaystyle {\displaystyle A=\left(\begin{array}{cc}-1& 2-3k\\ 1& -2k\end{array}\right)}}$ ， ${\displaystyle X=\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)}$ ， ${\displaystyle 0=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\end{array}\right)}$ とおくと，連立方程式は

${\displaystyle AX=0}$　･･････(1)

と表される．

${\displaystyle A}$ の逆行列 ${\displaystyle A^{-1}}$ が存在するとすると仮定した場合

(1)の両辺に${\displaystyle A^{-1}}$を左からかけると

${\displaystyle A^{-1}\left(AX\right)=A^{-1}0}$

となり

${\displaystyle X=0}$，すなわち，${\displaystyle x=y=0}$

が連立方程式の解となってしまう．

したがって，${\displaystyle x=y=0}$ 以外の解をもつときは，${\displaystyle A}$ は逆行列をもたない．

言い換えると，${\displaystyle \left|A\right|=0}$ の場合である．

したがって

${\displaystyle \left|A\right|}$${\displaystyle =-1\times \left(-2k\right)-(2-3k)}$${\displaystyle =2\mathrm{k}-2+3k}$${\displaystyle =5\mathrm{k}-2}$${\displaystyle =0}$

${\displaystyle k=\frac{2}{5}}$

となる．このとき方程式は

${\displaystyle \left\{\begin{array}{c}-x+\frac{4}{5}y=0\\ x-\frac{4}{5}y=0\end{array}\right.}$

つまり，

${\displaystyle x-\frac{4}{5}y=0}$　･･････(2)

となる．

${\displaystyle y=5c}$ 　(${\displaystyle c}$ は任意定数)とおくと

${\displaystyle \left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}4c\\ 5c\end{array}\right)=c\left(\begin{array}{c}4\\ 5\end{array}\right)}$

となり，${\displaystyle \left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\end{array}\right)}$ 以外の解は無数に存在する．

以上より，${\displaystyle k=\frac{2}{5}}$は条件を満たしている．　

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作成：学生スタッフ

最終更新日： 2022年9月7日