基本的な1次変換の問題

■問題

次の問に答えよ．

(1)点${\displaystyle \text{P}\left(x,y\right)}$ を原点を中心に${\displaystyle 60°}$ 回転させ点${\displaystyle \text{Q}\left(u,v\right)}$ に移す1次変換を表す行列 ${\displaystyle A}$ を求めよ． 三角関数は計算すること．

(2) ${\displaystyle \text{Q}\left(u,v\right)}$ を ${\displaystyle y}$ 軸に関して対称な点 ${\displaystyle \text{R}(r,s)に}$ 移す.1次変換を表す行列 ${\displaystyle B}$ を求めよ．

(3)点${\displaystyle \text{P}\left(x,y\right)}$ を点${\displaystyle \text{R}\left(r,s\right)}$ に移す1次変換を表す行列${\displaystyle C}$ を求めよ．

■答

• (1)

  ${\displaystyle \left(\begin{array}{cc}\frac{1}{2}& -\frac{\sqrt{3}}{2}\\ \frac{\sqrt{3}}{2}& \frac{1}{2}\end{array}\right)}$

• (2)

  ${\displaystyle \left(\begin{array}{cc}-1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)}$

• (3)

  ${\displaystyle \left(\begin{array}{cc}-\frac{1}{2}& \frac{\sqrt{3}}{2}\\ \frac{\sqrt{3}}{2}& \frac{1}{2}\end{array}\right)}$

■解き方

(1)

${\displaystyle A=\left(\begin{array}{cc}\cos 60°& -\sin 60°\\ \sin 60°& \cos 60°\end{array}\right)}$${\displaystyle =\left(\begin{array}{cc}\frac{1}{2}& -\frac{\sqrt{3}}{2}\\ \frac{\sqrt{3}}{2}& \frac{1}{2}\end{array}\right)}$

参考：回転行列

${\displaystyle \left(\begin{array}{c}u\\ v\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}\frac{1}{2}& -\frac{\sqrt{3}}{2}\\ \frac{\sqrt{3}}{2}& \frac{1}{2}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)}$　･･････(i)

(2)

${\displaystyle r=-u=-1·u+0·v}$

${\displaystyle s=v=0·u+1·v}$

${\displaystyle \left(\begin{array}{c}r\\ s\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-u\\ v\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-1\cdot u+0\cdot v\\ 0\cdot u+1\cdot v\end{array}\right)}$${\displaystyle =\left(\begin{array}{cc}-1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}u\\ v\end{array}\right)}$　･･････(ii)

よって

${\displaystyle B=\left(\begin{array}{cc}-1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)}$

(3)

(i)，(ii)より

よって

${\displaystyle C=BA}$${\displaystyle =\left(\begin{array}{cc}-1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}\frac{1}{2}& -\frac{\sqrt{3}}{2}\\ \frac{\sqrt{3}}{2}& \frac{1}{2}\end{array}\right)}$${\displaystyle =\left(\begin{array}{cc}-\frac{1}{2}& \frac{\sqrt{3}}{2}\\ \frac{\sqrt{3}}{2}& \frac{1}{2}\end{array}\right)}$

 

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作成：学生スタッフ

最終更新日： 2023年2月10日