基本的な1次変換の問題

■問題

$z$ 軸のまわりに $90 °$ だけ回転する1次変換の表現行列 $A$ を求めよ．

■答

$(\begin{matrix} 0 & - 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix})$

■解き方

1次変換によって点 $(x, y, z)$ が $(u, v, w)$ に変換されるとする．

$z$ 軸のまわりの回転なので $z$ 成分の値は変わらない．

よって $w = z$ である．

また， $x$ 成分， $y$ 成分は右図を参考にすると

$u = - y$

$v = x$

となる．

よって

$(\begin{matrix} u \\ v \\ w \end{matrix}) = (\begin{matrix} - y \\ x \\ z \end{matrix})$ $= (\begin{matrix} 0 \cdot x - 1 \cdot y + 0 \cdot z \\ 1 \cdot x + 0 \cdot y + 0 \cdot z \\ 0 \cdot x + 0 \cdot y + 1 \cdot z \end{matrix})$ $= (\begin{matrix} 0 & - 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}) (\begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix})$

したがって

$A = (\begin{matrix} 0 & - 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix})$

参考：回転行列

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作成：学生スタッフ

最終更新日： 2023年2月10日