# 基本的な1次変換の問題

## ■問題

(1)点$\text{P}\left(x,y\right)$ を原点を中心に$60°$ 回転させ点$\text{Q}\left(u,v\right)$ に移す1次変換を表す行列 $A$ を求めよ． 三角関数は計算すること．

(2) $\text{Q}\left(u,v\right)$$y$ 軸に関して対称な点 $\text{R}\left(r,s\right)に$ 移す.1次変換を表す行列 $B$ を求めよ．

(3)点$\text{P}\left(x,y\right)$ を点$\text{R}\left(r,s\right)$ に移す1次変換を表す行列$C$ を求めよ．

## ■答

• (1)

$\left(\begin{array}{cc}\frac{1}{2}& -\frac{\sqrt{3}}{2}\\ \frac{\sqrt{3}}{2}& \frac{1}{2}\end{array}\right)$

• (2)

$\left(\begin{array}{cc}-1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$

• (3)

$\left(\begin{array}{cc}-\frac{1}{2}& \frac{\sqrt{3}}{2}\\ \frac{\sqrt{3}}{2}& \frac{1}{2}\end{array}\right)$

## ■解き方

(1)

$A=\left(\begin{array}{cc}\mathrm{cos}60°& -\mathrm{sin}60°\\ \mathrm{sin}60°& \mathrm{cos}60°\end{array}\right)$$=\left(\begin{array}{cc}\frac{1}{2}& -\frac{\sqrt{3}}{2}\\ \frac{\sqrt{3}}{2}& \frac{1}{2}\end{array}\right)$

$\left(\begin{array}{c}u\\ v\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}\frac{1}{2}& -\frac{\sqrt{3}}{2}\\ \frac{\sqrt{3}}{2}& \frac{1}{2}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)$　･･････(i)

(2)

$r=-u=-1·u+0·v$

$s=v=0·u+1·v$

$\left(\begin{array}{c}r\\ s\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-u\\ v\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-1\cdot u+0\cdot v\\ 0\cdot u+1\cdot v\end{array}\right)$$=\left(\begin{array}{cc}-1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}u\\ v\end{array}\right)$　･･････(ii)

よって

$B=\left(\begin{array}{cc}-1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$

(3)

(i)，(ii)より

$\left(\begin{array}{c}r\\ s\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}\frac{1}{2}& -\frac{\sqrt{3}}{2}\\ \frac{\sqrt{3}}{2}& \frac{1}{2}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)$

よって

$C=BA$$=\left(\begin{array}{cc}-1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}\frac{1}{2}& -\frac{\sqrt{3}}{2}\\ \frac{\sqrt{3}}{2}& \frac{1}{2}\end{array}\right)$$=\left(\begin{array}{cc}-\frac{1}{2}& \frac{\sqrt{3}}{2}\\ \frac{\sqrt{3}}{2}& \frac{1}{2}\end{array}\right)$

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